Si $\log_3 5 = a$ y $\log_5 4 = b$, ¿cuál es $\log_{60}70$?

Question

Un estudiante me envió esta pregunta:

Si $\log_35=a$ y $\log_54=b$, ¿cuál es $\log_{60}70$?

La pregunta pide el valor de $\log_{60}70$ en términos de $a$ y $b$. Las ecuaciones para $a$ y $b$ involucran $2$, $3$ y $5. Por lo tanto, no estoy seguro de cómo tratar con $7$ en $\log_{60}70$ usando las identidades de logaritmos. Puede que esté pasando por alto algo muy obvio.

Answer 1

Si existe una función algebraica $f$ con $$ \log_{60}70 =f(a,b)= f\left(\frac{\log 5}{\log 3}, \frac{\log 4}{\log 5}\right)$$ entonces dado que $$ \log_{60}70 = \frac{\log 70}{\log 60} = \frac{\log 7+\log 2+\log 5}{2\log 2+\log 3+\log 5},$$ tendríamos $$ \log 7 = f\left(\frac{\log 5}{\log 3}, \frac{\log 4}{\log 5}\right)(2\log 2+\log 3+\log 5) - \log 2 - \log 5 $$ por lo que $\log 7$ sería algebraico en $\log 2$, $\log 3$, y $\log 5$. Pero según la conjetura de Schanuel, los logaritmos de los primos son independientes algebraicamente.