Porque de Goedel los Teoremas de la Incompletitud, sabemos que
no podemos describir una completa axiomatization de
matemáticas. Cualquier propuesta de axiomatization $T$, si
consistente, será incapaz de probar el principio Con(T)
la afirmación de que $T$ sí es coherente, a pesar de que hemos
la razón para desear este principio, una vez que hemos cometido
nosotros mismos a $T$. La adición de la coherencia de principio Con(T)
simplemente se pone a la pregunta de con(T+Con(T)), y así sucesivamente,
en un proceso que se desarrolla en el transfinito.
Por lo tanto, hemos llegado a saber que debe haber un transfinito
torre de teorías por encima de nuestras favoritas teorías, trascendiendo
en la consistencia de la fuerza. Los teoremas de incompletitud
implica que hay una torre de teorías de arriba PA arriba
ZFC, cada nivel que trasciende la consistencia de la fuerza de
los de los niveles anteriores.
Qué suerte y maravilloso que tenemos también de forma independiente
vienen en una torre de este tipo de teorías: el gran cardenal
jerarquía. Numerosas grandes cardenal conceptos, se levantó muy de
temprano en la teoría de conjuntos, desde el momento de Cantor, antes de
Goedel del teoremas y antes de que la noción de consistencia
la fuerza fue formulado. Estos grandes cardenal conceptos
se levantó de conjunto natural de la teoría de preguntas en el infinito
combinatoria: ¿Puede haber un límite regular el cardenal? Puede
hay que ser un countably-medida completa de la medición de todos los subconjuntos de
de un conjunto? No todos los $\kappa$-filtro completo en un conjunto
ampliar a un $\kappa$-completa ultrafilter? Y así sucesivamente.
Finalmente, se dio cuenta de que estos grandes cardenal
nociones separadas en una muy alta jerarquía, con el
la propiedad de que, desde el más grande de los cardenales, uno puede demostrar que la
la consistencia de los más pequeños de cardenales. Por ejemplo, si
$\kappa$ es el menos Mahlo cardenal, entonces el universo
$H_\kappa$ es un modelo de ZFC + no es estacionaria
clase adecuada de inaccesible cardenales + no hay
Mahlo cardenales. Si $\delta$ es el menos medibles
el cardenal, a continuación, $H_\delta$ satisface ZFC + hay un
clase adecuada de Ramsey cardenales, pero no mensurables
el cardenal.
Por lo tanto, el gran cardenal de la jerarquía proporciona exactamente la
torre de teorías, cuyos niveles de trascender la consistencia
la fuerza, que sabíamos que debe de existir. Y lo hace en un
de manera que es matemáticamente sólido e interesante, con su
fundamentos derivadas, no en algunos sintáctica de diagonalización,
pero matemáticamente el cumplimiento y preguntas significativas
en la infinita combinatoria.
El caso de Vopenka del principio es así. VP es una
gran cardenal axioma en el extremo superior de la gran
el cardenal de la jerarquía, lo que implica la consistencia de la
la existencia de supercompact cardenales, dicen, que son mucho
más fuerte que el fuerte de los cardenales, que implica toda torres
de medir los cardenales, que implica numerosos Ramsey
cardenales y así sucesivamente hacia abajo de la línea.
Ilustrando los esenciales gran cardenal de la naturaleza, el VICEPRESIDENTE
axioma es elegantemente dijo: para cada clase adecuada de la secuencia de
$\langle M_\alpha | \alpha\in\text{ORD}\rangle$ de la primera
estructuras de orden, hay un par de números ordinales
$\alpha\lt\beta$ para que $M_\alpha$ incrusta elementarily
en $M_\beta$. (Es equivalente indicado en los términos de
los gráficos, si así lo desea). Es muy sencillo y claro---hermosa!
Y las consecuencias son de largo alcance y a menudo profundas,
como se ha observado en la categoría de teoría, en la forma en que VP
implica que el conjunto teórico universo es regular y
organizado.
Estas son las razones por las que usted debe ser atraído a Vopenka del
principio. Se trata de un elegante combinatoria principio, con
consecuencias de largo alcance que son de su interés, que no ha
ha sido refutado.
En contraste, me parece la filosofía de la heurística que buscan
para justificar el gran cardenal axiomas, sobre la base de
la reflexión o por otros medios, para ser mucho aire caliente en última instancia insatisfactorios.
Estos argumentos no son matemáticamente sonido, y no puede ser
hecho para ser, por los Teoremas de Incompletitud.
Filosóficamente, se parece mucho más como racionalizaciones
después del hecho. Por ejemplo, incluso en el mucho menor (y
por lo tanto, aparentemente más fáciles de justificar) nivel de
inaccesible cardenales, a veces uno escucha una apelación a
reflexión de tipo de opiniones, que ya que no tenemos definibles
sin límites mapa a partir de un conjunto en el ordinales, que no
debe ser un nivel de $V_\kappa$ del universo también con este
característica, y que ese nivel sería inaccesible
el cardenal. Por supuesto, la conclusión se adelanta el argumento,
con la conclusión parece justificar en la mayoría de los
$V_\kappa\models$ZFC, que es una noción más débil, y el
meta-reflexión principio apeló a las cantidades de todos modos para un
gran cardenal su propio principio.
Finalmente, debemos reconocer la naturaleza incierta de todos
nuestro matemático de la empresa. Como nuestra hipótesis de subir más alto
en el gran cardenal de la jerarquía, debemos ser menos seguro
de consistencia---tal vez será demostrado ser
incoherente. Este problema surge incluso en los niveles más bajos
de nuestra matemática axiomatizations, para la que podemos encontrar en cualquier
tiempo (como se mencionó en una reciente MO
pregunta)
que incluso PA es inconsistente. Como Woodin dice, todos tenemos
en nuestra mente la imagen de una línea de ferrocarril, revestido por una
la secuencia de los postes de telégrafo, de proceder hasta el infinito; pero
cuando los físicos nos dicen que el universo es finito, se
darse cuenta de que esta imagen es pura imaginación. Tal vez
es simplemente incompatible? Así, el escepticismo acerca de la consistencia
nada en especial que hacer con el infinito.
Mientras tanto, el gran cardenal axiomas son fascinantes y
tienen interesantes consecuencias. Vamos a buscar el límite
de consistencia, con una actitud templado por la
realización que podemos encontrar inconsistencia.
En resumen, no podemos nunca estar seguros de que nuestros axiomas son
en consonancia, y sabemos que por encima de la teoría matemática
acerca de lo que podemos estar seguros, hay una torre de
teorías cuyos niveles de trascender consistencia. Entre ellos se encuentran
fascinantes teorías que están elegantemente declaró con
consecuencias de largo alcance, y que aún no hemos
refutado. Así que vamos a estudiar! Vamos a encontrar el límite de
entre la coherencia y la incoherencia!
