Geometría generalizada y estructuras de rotación.

Question

Deje $(M,g)$ ser $d$-dimensional, orientado a pseudo-Riemann colector, y $V$ el subbundle de $E=TM\oplus T^*M$ dada por la gráfica de la musical lineal isomorfismo $g^\flat:TM\rightarrow T^*M$ asociado a la métrica de $g$. La no degeneración de $g$ implica que el $E$ se descompone como el Whitney suma $E=V\oplus V'$ donde $V'$ es la gráfica de $-g^\flat=(-g)^\flat$. De hecho, las proyecciones

$P_\pm(X\oplus\xi)=\frac{1}{2}(X\pm g^\sharp(\xi))\oplus(\xi\pm g^\flat(X))$

satisfacer $P_-=\mathbb{1}-P_+$, $P_+(E)=V$ y $P_-(E)=V'$, donde $g^\sharp:T^*M\rightarrow TM$ es el musical isomorfismo lineal asociada a $g^{-1}$. Por otra parte, $E$ lleva a un proceso canónico, pseudo-métrica de Riemann $h$ de la firma $0$

$h(X_1\oplus\xi_1,X_2\oplus\xi_2)=\frac{1}{2}(\xi_1(X_2)+\xi_2(X_1))$

tal que $(\mathbb{1}\oplus g^\flat)^*(h|_V)=g$. Se puede demostrar que $E$ admite un giro de la estructura asociada a $h$ - por ejemplo, el espacio de las secciones de la) exterior álgebra bundle $\Lambda^*T^*M$ es una Clifford módulo, y su producto tensor $\Lambda^*T^*M\otimes(\Lambda^dT^*M)^{1/2}$ real con la línea de haz de la mitad de densidades de más de $M$ es un spinor paquete. Por otra parte, el espacio de giro de estructuras en $(E,h)$ es un espacio afín inspirado en el grupo $H^1(M,\mathbb{Z}_2)$ real de la línea de paquetes de más de $M$, que asigna el correspondiente spinor haces sobre cada uno de los otros por tensoring (los anteriores resultados preliminares se puede encontrar en el Capítulo 2 del Marco Gualtieri tesis de Doctorado sobre generalizado de geometría compleja, arXiv:matemáticas.DG/0401221).

Pregunta(s): si $(M,g)$ admite un giro de la estructura, hace una elección de giro de la estructura de $(TM\oplus T^*M,h)$ descender por la restricción a $V$ a una opción de giro de la estructura de $(M,g)$? ¿Esto establecer una correspondencia uno a uno entre ambos conjuntos de giro estructuras? Si es así, ¿cómo esta generalizar, digamos, generalizada de Riemann métricas (es decir, rango-$d$ subbundles $W$ de la torsión de $TM\oplus T^*M$ por un Cech 1-cocycle $B$ con los valores en cerrada de 2 formas, de tal manera que la restricción de $h$ a $W$ es positiva definida)?

En otras palabras, quiero saber si, en los convext, hay un tipo específico de conversar a la conocida propiedad de que, dados dos pseudo-Riemann vector de paquetes de $V,V'$ y su Whitney suma $E=V\oplus V'$, una opción de giro de la estructura de dos de cualquiera de estos paquetes únicamente determina un giro de la estructura en el restante. En el caso de $V$ e $V'$ son de Riemann, esta es la Proposición 2.1.15, pp 84-85 de H. B. Lawson y M.-L. Michelsohn, "la vuelta de la Geometría" (Princeton, 1989). Véase también M. Karoubi, "Algèbres de Clifford et K-Théorie". Ann. Sci. Éc. Norma. Sup. 1 (1968) 161-270.

Más precisamente, aquí utilizamos el hecho de que existe un isomorfismo canónico entre el $Spin(p,q)$ e $Spin(q,p)$ que cubre la canónica de isomorfismo entre el $SO(p,q)$ e $SO(q,p)$ (véase M. Karoubi, ibid.) para establecer una canónica de una correspondencia uno a uno entre el conjunto de spin estructuras en $(M,g)$ y el conjunto de spin estructuras en $(M,-g)$. Esta correspondencia, a su vez, se utiliza para inducir un giro de estructuras en $V$ e $V'$ de la de $(M,g)$ junto con la orientación-la conservación, la isométrica paquete isomorphisms $\mathbb{1}\oplus(\pm g^\flat)$. Lo que quiero saber es si entre los pares de giro estructuras en $V$ e $V'$ que determinan la vuelta dada la estructura en $E$ en el de arriba de la moda, no es (solo?) una pareja que, una vez llevada a $M$, está relacionado con el anterior una correspondencia uno a uno entre el $Spin(p,q)$- e $Spin(q,p)$-estructuras.

Answer 1

OK, estoy haciendo una suposición: que puedo re-interpretar el problema (utilizando el musical isomorfismo) como $V$ la diagonal de la incorporación de la $TM$ dentro $TM\oplus TM$ y el estudio de spin estructuras en ellos.

En realidad, resulta (ver comentarios) de que esta "re-interpretación" es ligeramente diferente de la construcción original. Pero la mayor parte sigue siendo a través de:

Voy a restringir a $\dim M=3$, en cuyo caso nuestro (cerrado orientado a) colector es siempre spinnable. Un giro de la estructura de $\mathfrak{s}$ a $M$ induce una vuelta canónica de la estructura de $\mathfrak{S}_0=\mathfrak{s}\oplus\mathfrak{s}$ a $TM\oplus TM$, y esto es en realidad independiente de la elección de $\mathfrak{s}$ (estos aparecen en la noción de un 2-enmarcado en 3-variedades, que Atiyah y Witten ha utilizado para algunos de sus QFT estudios). Como resultado, la "restricción" $\mathfrak{S}_0|_V$ a $M$ está mal definida.
[prueba de reclamación de vuelta canónica de la estructura (aprendido de conversación con Rob Kirby): el giro de la estructura de las correcciones de una trivialización sobre el 1-esqueleto, y más círculos hay dos como banalizaciones, por lo que el cambio de una banalización de la $\mathfrak{s}$ se duplica en $\mathfrak{s}\oplus\mathfrak{s}$ que modulo-2 no es el cambio.]

Esto implica también que la "restricción" a cada una de las $TM$-sumando está mal definida. (Lo que sé que funciona: el collar del barrio teorema de no permitir que un inducida por el giro de la estructura en $T(\partial X$) a partir de un spin estructura en $TX$ gracias a la división de $TX|_\partial=T(\partial X)\oplus\underline{\mathbb{R}}$ cerca de la frontera.)