La integración en un orientable diferenciable n-manifold se define mediante una partición de la unidad y un mundial nada de fuga n-formulario llamado forma de volumen. Si el colector no es orientable, no hay forma existe y el concepto de densidad es introducido, con el que podemos integrar ambos en orientable y no-orientable colectores. Mi pregunta es: En un no-orientable n-colector, cada n-forma se desvanece en algún lugar, pero ¿no debería ser capaz de elegir una n-forma con decir una contables número de ceros, lo que constituiría un conjunto de medida cero y por lo tanto permitir el uso de n-formas (con ceros) por integración global también en la no-orientable n-variedades?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
El problema es que no hay manera de averiguar signos - sería como tratar de integrar una función de $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}$ sin saber si se estaban moviendo hacia adelante o hacia atrás.
Lo que realmente se PUEDE integrar son pseudo-formas diferenciales. El punto entero de la elección de una orientación que es a su vez una forma diferenciada en un pseudo-diferenciales de la forma. Para aquellos, recomiendo el maravilloso cuento de Juan Báez encontrar aquí:
https://groups.google.com/group/sci.physics.research/msg/3c6a1a7237b66c8c?dmode=source&pli=1
Rauf
Puntos
141
Esta no es una respuesta, pero en la lectura de la discusión pensé que sería bueno si alguien le dio la definición de densidad, de modo que nadie podría pensar que es un poco complicado de objeto. Aprendí el siguiente (un poco más general de definición) de I. M. Gelfand:
Definición.
Un $k$-densidad en un colector $M$ es un continuo valor real de la función definida en el
cono de simple (un.k.una. descomponible) tangente $k$-vectores en $M$ que es homogénea de grado uno. Un $k$-densidad de $\varphi$ se dice que ser suave si para cada $k$-tupla de suave linealmente independiente de vectores de los campos $X_i$ $(1 \leq i \leq k)$ definido en algún conjunto abierto $U \subset M$, tenemos que la función
$$
y \mapsto \varphi(X_1(y)\wedge \cdots \wedge X_k(y))
$$
es suave en $U$.
Un densitiy se llama incluso si $\varphi(-v) = \varphi(v)$ por cada simple tangente $k$-vector $v$. Asimismo, hemos extraño $k$-densidades que generalizar diferencial $k$formas de
Ejemplos y contexto
Si $\Omega$ es una forma de volumen en una variedad de dimensión $n$, en tanto $\Omega$ y $|\Omega|$ se $n$-densidades. El arco de longitud de un elemento de una de Riemann o Finsler métrica es una $1$-densidad. El $k$-área integrando de una de Riemann o Finsler múltiple es una $k$-densidad.
Paramétrico integrands (en el sentido de Federer-Fleming) definen $k$-densidades cuando restringidas para el cono de vectores simples, pero densidades de manera más general.
Varifolds de dimensión $k$ son elementos de la doble a en el espacio de, incluso, $k$- densidades. Esto es, básicamente, su definición: debido a su homogeneidad, incluso, $k$- densidades puede ser visto como funciones continuas en el conjunto de la tangente $k$-planos.
Un mensaje de nuestro patrocinador
Para más ejemplos y ordenada de las aplicaciones a la integral de la geometría (si se me permite decirlo ...), que se vuelve mucho más fácil si formas diferenciales son reemplazados por densidades, consulte el documento de Gelfand transforma y Crofton fórmulas.
Thibaut Barrère
Puntos
2865
Primero de todo, las cosas que usted realmente integrar son las densidades, las cuales son las diferencias geométricas homólogos de medidas. No es la orientación necesaria.
Un grado $n$ formulario en un $n$-dimensiones del colector es casi la una de la densidad, pero no del todo. Necesitamos una orientación para asociar a la parte superior de grado de la forma de la densidad. Esto es lo que en última instancia integrar al integrar un formulario. Para más detalles, véase la Sección 3.4.1 de estas notas.
Andres
Puntos
79
Es de esperar que el ajuste a cero de un $n$-formulario para que codimension 1 en lugar de ser contable. Su sugerencia de que la elección de algunos de los $n$-forma en un no-orientable colector $M^n$ y la definición de las integrales en relación a que, esencialmente, las cantidades a que se corte el $M$ en dos orientable piezas a lo largo de un codimension 1 submanifold, la elección de una orientación en cada uno, y la adición de las integrales sobre las dos piezas. Sin duda se puede hacer eso, pero ya que la respuesta depende de la elección de $n$-forma/de corte no es muy natural o interesante (mientras que la integral sobre una orientada al colector sólo depende de la orientación y no en la elección de la orientación de la forma).
nik
Puntos
5456
De hecho, para el propósito de la integración de funciones en un no-orientable colector, no directamente necesidad de densidades. Cada (conectado) colector $M$ tiene un orientable de doble cubierta (conectado si y sólo $M$ es no orientable), $\pi: \tilde M \to M$. Entonces, a la fijación de una orientación y una forma de volumen $\mathcal V$ a $\tilde M$, se puede definir la integral de una función $f$ a $M$ por
$$\frac{1}{2}\;\int_{\;\tilde M}\left(f\circ\pi\right) \mathcal V\,.$$ Por supuesto, si $M$ es no orientable, la forma de volumen $\mathcal V$ no puede ser elegido para ser invariantes bajo la involución que intercambia los dos puntos en cada fibra de $\pi$, de lo contrario sería la retirada de una forma de volumen en $M$.
Esto tiene la desventaja de no ser muy canónica en general. Pero, si $M$ está equipada con una métrica de Riemann $g$, entonces no es un canónica forma de volumen en $\tilde M$, es decir, que la inducida por $\pi^* g$. Así, por ejemplo, el volumen de una de Riemann banda de Moebius o de una de Riemann de la botella de Klein es bien definida.
