¿Cuán equivocada podría ser la hipótesis del continuo?

Question

Me han dicho que es consistente con ZFC tener

$$ 2^{\aleph_0} = \aleph_n $$

para cualquier $n = 1, 2, 3, \dots $. ¿Cuánto más puede ser?

Más precisamente: ¿hay modelos de ZFC con $2^{\aleph_0} \gt \aleph_n$ para todos los $n$? ¿Qué es el "récord mundial" cuando se trata de encontrar modelos donde $2^{\aleph_0}$ es "muy grande" en algún sentido? Y por otro lado, hay teoremas poniendo interesante límites en el tamaño de $2^{\aleph_0}$ puede ser?

(I recuento $2^{\aleph_0} \lt 2^{2^{\aleph_0}}$ como poco interesante obligado.)

Según Wikipedia:

Un resultado reciente de Carmi Merimovich muestra que, para cada una de las $n \ge 1$, es consistente con ZFC que para cada $\kappa$, $2^\kappa$ es el $n$th sucesor de κ. Por otro lado, László Patai (1930) demostró, que si $\gamma$ es un ordinal y para cada uno de los infinitos cardenal $\kappa$, $2^\kappa$ es el $\gamma$th sucesor de $\kappa$,, a continuación, $\gamma$ es finito.

Sin embargo, estoy interesado en los fallos de la Hipótesis continua, no la generalización de la Hipótesis continua.

Answer 1

Solovay demostró poco después de Cohen resultado sobre la independencia de los CH que en cualquier modelo de la teoría de conjuntos $V$ si $\kappa^\omega=\kappa$, entonces no es un forzando la extensión en que $2^\omega=\kappa$. El forzamiento es, simplemente,$\text{Add}(\omega,\kappa)$, el hecho de forzar a agregar $\kappa$ muchos Cohen reales. Por lo tanto, el continuum $2^\omega$ puede $\aleph_{\omega+1}$ o $\aleph_{\omega_1}$ o $\aleph_{\omega_1+\omega^2+17}$ o lo que sea, incluso débilmente inaccesible, si usted tenía un cardenal en la planta modelo. Pero no puede ser $\aleph_\omega$ o $\aleph_{\omega_1+\omega}$ o cualquier cardenal con cofinality $\omega$, debido a $(2^\omega)^\omega=2^\omega$ pero König del teorema muestra $\kappa^{\text{cof}(\kappa)}>\kappa$ para cualquier infinita cardenal $\kappa$.

En particular, si empiezas en un modelo de la GCH, a continuación, la continuidad puede ser hecho para ser igual a $\delta^+$ para cualquier infinita sucesor, el cardenal en el modelo de terreno, y este es el cardenal-la preservación de forzar, así que el significado de la función sucesor es el mismo en el modelo de terreno como en la extensión.

Easton muy generalizar este resultado para demostrar que si empiezas en un modelo de la GCH, y si $E$ es cualquier función definida en el infinito regular cardenales y obedecer a los siguientes requisitos (que ahora se llama un Easton función)

• $E(\kappa)>\kappa$
• Además, $\text{cof}(E(\kappa))>\kappa$
• $\kappa\leq\lambda\to E(\kappa)\leq E(\lambda)$

a continuación, $E$ puede convertirse en el continuum de la función $\kappa\mapsto 2^\kappa=E(\kappa)$ calculado en un cardenal-la preservación de forzar la extensión del universo. Ver Easton del teorema.

El Easton requisitos de cantidad para el trivial de los requisitos sobre el continuum de la función impuesta por los hechos que $\kappa\leq\lambda\to 2^\kappa\leq 2^\lambda$ y del teorema de König $\text{cof}(2^\kappa)>\kappa$.

Como resultado, podemos tener $2^{\aleph_n}=\aleph_{\omega^2+\omega+p_n}$ donde $p_n$ es el $n^{th}$ prime, si nos gusta. Hay una infinita flexibilidad, y, básicamente, todo está permitido, sujeto a la Easton requisitos, que son triviales limitaciones.

Easton del teorema no se aplica en absoluto a la singular cardenales, sin embargo, y control de la continuidad de la función en singular cardenales es extremadamente sutil problema.