¿Cómo puedo integrar la siguiente? $\int{\frac{(1+x^{2})\mathrm dx}{(1-x^{2})\sqrt{1+x^{4}}}}$

Question

$$\int{\frac{1+x^2}{(1-x^2)\sqrt{1+x^4}}}\mathrm dx$$

Este fue un Calc 2 problema para crédito extra (que hemos hecho hiperbólicas funciones trigonométricas demasiado, si eso ayuda) y no lo entendía (no creo que nadie lo hizo) -- ¿cómo usted va sobre él?

Answer 1

No podría ser elíptica, después de todo... (a menos que me han hecho algún error)

$$\int{\frac{1+x^2}{(1-x^2)\sqrt{1+x^4}}}\mathrm dx$$

Deje que $\displaystyle u = x -\frac{1}{x}$.

Entonces $\displaystyle du = (1 + \frac{1}{x^2})dx$.

Ahora, $$\frac{1+x^2}{(1-x^2)\sqrt{1+x^4}} = -\frac{x^2(1 + 1/x^2)}{x(x-1/x)\sqrt{x^2(x^2 + 1/x^2)}} = -\frac{1 + 1/x^2}{(x-1/x)\sqrt{(x - 1/x)^2 + 2}}$$

Así

$$\int{\frac{1+x^2}{(1-x^2)\sqrt{1+x^4}}}\mathrm dx$$

$$= -\int \ \frac{\mathrm{du}}{u \sqrt{u^2 + 2}}$$

Answer 2

Algo inspirado por Morón de la maravillosa respuesta, me decidí a ver si un trigonométricas solución sería hacer el trabajo.

Haciendo la sustitución $x=\cuna\left(\frac{\theta}{2}\right)$, $\mathrm dx=\frac{\mathrm d\theta}{\cos\;\theta-1}$, tenemos

$$\int \frac{\mathrm d\theta}{\cos\;\theta(1-\cos\;\theta)\sqrt{1+\cot^4\frac{\theta}{2}}}$$

$$=\int \frac{\mathrm d\theta}{\cos\;\theta(1-\cos\;\theta)\sqrt{1+\left(\frac{1+\cos\;\theta}{1-\cos\;\theta}\right)^2}}$$

$$=\frac1{\sqrt{2}}\int \frac{\mathrm d\theta}{\cos\;\theta\sqrt{1+\cos^2\theta}}$$

que se integra a

$$\frac1{\sqrt{2}}\tanh^{-1}\frac{\sin\;\theta}{\sqrt{1+\cos^2\theta}}$$

Deshacer la sustitución, obtenemos

$$\frac1{\sqrt{2}}\tanh^{-1}\left(x\sqrt{\frac{2}{x^4+1}}\right)$$

y es fácil comprobar que la derivada de esta última expresión da la original integrando.

Answer 3

Morón y J. M. de la soluciones son agradables. Esperemos que esta solución es más sencilla.

Sin pérdida de generalidad podemos suponer que $1\gt x\gt 0$. Poner $x:=\sqrt{y}$, $1\gt y\gt 0$. A continuación, obtenemos $$ \int{\frac{1+x^2}{(1-x^2)\sqrt{1+x^4}}}\mathrm dx=\int{\frac{1+y}{2(1-y)\sqrt{1+y^2}\sqrt{y}}}\mathrm dy. $$ Introducir la nueva variable $$ t:=\frac{1+y}{1-y},\qquad 1\lt t \lt \infty. $$ Entonces tenemos $$ y=\frac{-1+t}{1+t}, $$ $$ \mathrm dy=\frac{2}{(1+t)^2}\,\mathrm dt. $$ Sustituyendo obtenemos de nuevo $$ \int{\frac{1+y}{2(1-y)\sqrt{1+y^2}\sqrt{y}}}\mathrm dy=\int{\frac{t}{2\sqrt{1+\left(\dfrac{-1+t}{1+t} \right)^2}\sqrt{\dfrac{-1+t}{1+t}}}\frac{2}{(1+t)^2}\,\mathrm dt} $$ $$ =\frac{1}{\sqrt{2}}\int{\frac{t}{\sqrt{t^4-1}}}\mathrm dt $$ $$ =\frac{1}{2\sqrt{2}}\ln(t^2+\sqrt{t^4-1})+C. $$ Volver a poner todo lo que obtenemos $$ \frac{1}{2\sqrt{2}}\ln\left(\frac{(1+x^2)^2+2\sqrt{2}x\sqrt{1+x^4}}{(1-x^2)^2}\right)+C. $$

Answer 4

Qué sorpresa! Navegando por la red, he encontrado casi de la misma pregunta en "duro integral" $$ \displaystyle \int \frac{x^2 - 1}{(x^2 + 1) \sqrt{x^4 + 1}} \, dx $$ desde el 19 de junio de 2008.