Una de las clases más conocidas de variedades de Kähler-Einstein, es decir, variedades complejas que llevan una métrica de Kähler $g$ tal que $Ric_{g}= \lambda \cdot g$ $c\in\mathbb{R}$ son los colectores de banderas generalizados $$G^{\mathbb{C}}/P\cong G/K$$ de un grupo de Lie simple compacto y conexo. Aquí $P$ es un subgrupo parabólico de la complexificación $G^{\mathbb{C}}$ de $G$ y $K=p\cap G$ es el centralizador de un toroide $S\subset G$ es decir $K=C(S)$ . Si $S=T=$ toro maximal, entonces obtenemos una manifold de bandera completa $G/T$ .
Dentro de la clase de las variedades de banderas generalizadas, encontramos una subclase muy importante de variedades de Kähler-Einstein, las (isotropía irreducible) espacios simétricos hermitianos $M=G/K$ de tipo compacto (es decir, espacios simétricos compactos dotados de una estructura hermitiana invariante bajo las simetrías. En particular, esta estructura hermitiana es de Kähler). Es bien sabido que un espacio de este tipo $M=G/K$ admite una métrica de Kähler-Einstein única (como isotropía irreducible). Permítanme mencionar dos hechos básicos para espacios simétricos hermitianos irreducibles por isotropía $M=G/K$ :
1) El subgrupo de isotropía $K$ tiene un centro unidimensional.
2) Son las únicas variedades de banderas generalizadas que son al mismo tiempo espacios simétricos.
Una variedad de banderas (generalizada) es una variedad homogénea de Kähler (la estructura de Kähler corresponde a la forma simpléctica de Kirillov-Kostant-Souriau, ya que cualquier variedad de banderas puede verse como una órbita adjunta de un elemento del álgebra de Lie de $G$ ). En particular, las manifolds bandera agotan todas las manifolds de Kähler homogéneas compactas y simplemente conectadas $M=G/K$ correspondiente a un grupo de Lie compacto, conexo y simple $G$ . Su clasificación se basa en los diagramas de Dynkin pintados.
Cualquier coset $M=G^{\mathbb{C}}/P=G/K$ $(K=C(S))$ admite un número finito de estructuras complejas invariantes. Además, para cualquier estructura compleja de este tipo podemos definir (una única) métrica homogénea de Kähler--Einstein, que viene dada en términos de la llamada forma de Koszul $$2\delta_{\frak{m}}=\sum_{\alpha\in R^{+}\backslash R_{K}^{+}}\alpha.$$ Así pues, una variedad de banderas admite un número finito de métricas de Kähler-Einstein. Nótese que si algunas de las estructuras complejas invariantes son equivalentes, entonces, las métricas de Kähler-Einstein correspondientes a estas estructuras complejas serían isométricas.
Más información sobre la geometría de las variedades bandera, diagramas de Dynkin pintados, métricas invariantes de Kähler-Einstein, etc., en los siguientes artículos:
D. V. Alekseevsky: Colectores de bandera , en Sbornik Radova, 11th Jugoslav. Geom. Seminar. Beograd 6 (14) (1997) 3--35.
D. V Métricas invariantes de Kähler-Einstein en espacios homogéneos compactos , Funct. Anal. Appl. 20 (3) (1986) 171--182.
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Un teorema de Aubin-Yau dice que cualquier variedad compacta de Kähler con $c_1(X)$ negativo o cero (como clase de cohomología) es Kähler-Einstein, en el sentido de que existe $\omega$ una métrica de Kähler que satisfaceinf respectivamente $Ric(\omega)=-\omega$ (resp. $Ric(\omega)=0$ ). En el caso de que $c_1(X)>0$ No siempre es cierto, pero conocemos algunos ejemplos (por ejemplo, espacios bien elegidos).
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Sea $M$ es una variedad de Kähler de dimensión $2n$ entonces $M$ es Kähler-Einstein si y sólo si $\tau(L)=\tau(L^)$ para todas las secciones del plano n $LT_pM$ donde $\tau$ es la curvatura escalar, Chen, Bang-Yen, Dillen, Franki Curvatura biseccional totalmente real, Bochner-Kaehler y variedades de Einstein-Kaehler. Differential Geom. Appl. 10 (1999), nº 2, 145-154.