Polinomios integrales que dividen N!

Question

Considere un polinomio$P(X)\in\mathbb Z[X]$. ¿Es cierto que$P(N)$ divide$N!$ para infinitos enteros$N$?

Esta pregunta está motivada por el caso especial donde$P(X) = X^2 + 1$ que apareció en una olimpiada matemática.

Me preguntaba si alguien puede señalarme referencias de esta pregunta.

Answer 1

En general este es un problema abierto. Un problema muy estrechamente relacionado con (esencialmente equivalente) es preguntar por los valores de $P(n)$ para $n$ del tamaño de la $X$ a $X$ liso (es decir, compuesta sólo de números primos por debajo de $X$). Este es conocido por polinomios cuadráticos, pero ya se ha abierto para general cúbicos de polinomios irreducibles. Para algunos polinomios especiales (por ejemplo, los de la forma$ax^d+b$), tales resultados son conocidos, gracias a Schinzel, Balog y Wooley etc. Para una descripción de los resultados relacionados, y más referencias, véase este artículo de Dartyge, Martin y Tenenbaum.

Answer 2

Wow! He estado pensando acerca de este problema, también. Puedo demostrar que para cada impar número natural $d$ existe una infinidad de $n \in \mathbb{N}$ tal que $n^{d}+1 \mid n!$. Aquí tienes mi magnífica prueba del caso de $d=3$ del resultado (cf. https://oeis.org/A270441):

Para cada $k \in \mathbb{N}$ tenemos que

\begin{eqnarray*}(k^{6}+2k^{4}+k^{2}+1)^{3}+1 &=& (k^{2}-k+1)(k^{2}+2)(k^{2}+k+1) &\cdot& (k^{4}-k^{3}+2k^{2}-2k+1)(k^{4}+1)(k^{4}+k^{3}+2k^{2}+2k+1);\end{eqnarray*}

por lo tanto, se deduce que, por cada $k \in \mathbb{N} \setminus \{1\}$, el número natural $N_{k}:=k^{6}+2k^{4}+k^{2}+1$ es tal que $N_{k}^{3}+1$ divide $N_{k}!$. QED.

Tengo que terminar algo más ahora, pero si usted está interesado en lo que he mencionado, me puede agregar más detalles sobre el resultado que he obtenido más tarde.