¿Existe un espacio topológico X homeomorfo al espacio de funciones continuas de X a [0, 1]?

Question

En general, se podría preguntar cuando podemos encontrar interesantes espacios de $X, Y$ tal que $X$ es homeomórficos a $[X, Y]$. Por el Lawvere punto fijo teorema $Y$ debe tener el punto fijo de la propiedad. Felizmente, $Y = [0, 1]$ tiene de hecho el punto fijo de la propiedad (por ejemplo, por el teorema del valor intermedio), así que esto no es una obstrucción.

Sé que científicos de la computación han construido espacios de $X$ tal que $X$ es homeomórficos a $X^X$ en el dominio de la teoría, pero no sé lo suficiente para saber si las técnicas son relevantes aquí.

Answer 1

No puede ser un homeomorphism, porque Lawvere del teorema de punto fijo nos daría algo muy constructivo: un mapa continuo $[0,1]^{[0,1]} \to [0,1]$ que asigna un punto fijo para cada mapa continuo $[0,1] \to [0,1]$.

Tras la prueba de la Lawvere teorema de punto fijo, dado de una homeomorphism $f: X \cong [0,1]^X$ y un mapa de la $g: [0,1] \to [0,1]$, se construye un mapa de $h: X \to [0,1]$ por $h(x) = g(f(x)(x))$, y a continuación, obtenemos un elemento $x^* = f^{-1}(h)$ de % de$X$. A continuación,

$$ f(x^*)(x^*) = h(x^*) = g(f(x^*)(x^*)), $$

por lo que hemos encontrado un punto fijo de $g$. Esta construcción es continua en $g$, ya que estamos trabajando con la exponencial de la topología en $[0,1]^{[0,1]}$, lo $g \mapsto f(x^*)(x^*)$ da un continuo de punto fijo-encontrar mapa de $[0,1]^{[0,1]} \to [0,1]$.

Hay un montón de trabajo en la nonconstructivity de Brouwer del teorema de punto fijo para los diferentes sentidos de constructivity. Para dar una rápida prueba visual de que no hay mapa continuo del tipo considerado aquí existe, es suficiente para considerar la posibilidad de un camino a través de $[0,1]^{[0,1]}$ a lo largo de la cual un mapa no puede ser continuamente definido. Considerar linealmente deformación de verde a rojo a púrpura en el diagrama de abajo; un punto fijo (es decir, un punto donde la curva cruza la identidad representada en azul) no puede ser continuamente elegido.

Es interesante que esto funciona porque tenemos una homeomorphism $X \cong [0,1]^X$ más que un continuo surjection. Un continuo surjection $X \to [0,1]^X$ sería suficiente para deducir el teorema del valor intermedio uso de Lawvere del teorema de punto fijo, pero no en un constructiva suficiente de manera similar a descartar.