¿Cuándo necesitamos realmente condiciones noeterianas?

Question

¿Cuándo son realmente esenciales las condiciones noeterianas sobre un esquema en la geometría algebraica?

Tengo la impresión de que la mayoría de las veces estas condiciones se imponen por claridad expositiva y para simplificar el álgebra conmutativa implicada (por ejemplo, a lo largo de Hartshorne y FGA), y que pueden eliminarse prestando más atención a las condiciones de finitud de los morfismos implicados.

Entonces, ¿cuáles son las cosas que realmente requieren condiciones noetherianas? Mejor aún, ¿hay alguna "consigna" que indique cuándo serán necesarias?

Answer 1

He aquí algunos ejemplos que ilustran la auténtica necesidad de los supuestos noetherianos:

1) ¿Todo esquema con un solo punto es el espectro de un anillo local artiniano?
Esto es cierto para todo esquema noetheriano de un punto y falso para todo esquema noetheriano de un punto.
Un ejemplo no noetero (y por tanto no artiniano) : $\operatorname {Spec}(\mathbb Q[T_1,T_2,T_3,\cdots]/\langle T_1^2,T_2^2,T_3^2 \rangle )$

2) ¿Un esquema sólo tiene un número finito de componentes irreducibles?
Un esquema noetheriano sólo tiene un número finito de componentes irreducibles, pero un esquema noetheriano puede tener infinitos componentes irreducibles: es el caso de cualquier unión disjunta de infinitos esquemas no vacíos.

3) ¿Todo esquema tiene un punto cerrado?
Esto es cierto para todo esquema noetheriano (en realidad para cualquier esquema cuasicompacto), pero existen esquemas sin ningún punto cerrado: Qing Liu Capítulo 3, Ejercicio 3.27, página 114.

4) ¿Los módulos inyectivos dan gavillas inyectivas?
Si $I$ es un módulo inyectivo sobre el anillo $A$ , entonces la gavilla cuasi-coherente asociada $\tilde I$ en $X=\operatorname {Spec}(A)$ es una gavilla inyectiva de $\mathcal O_X$ - Módulos si $A$ es noetheriano pero no es necesariamente inyectivo para $A$ noetheriano: SGA6 , Exposé II, Appendice I Un contre-exemple de Verdier, página 195.

5) ¿Una gavilla finitamente presentada es coherente?
Dado en un esquema $X$ una gavilla de $\mathcal F$ de $\mathcal O_X$ -Módulos, ¿la existencia de una cobertura abierta $(U_i)$ de $X$ para las que se tienen secuencias exactas $\mathcal O_{U_i}^{n_i}\to \mathcal O_{U_i}^{m_i}\to \mathcal F\vert _{U_i}\to 0$ implican que $\mathcal F$ es coherente?
La respuesta es sí si $X$ es noetheriano (o incluso localmente noetheriano) pero no en general: existen anillos noetherianos $A$ tal que la gavilla estructural $\mathcal O_X$ en $X=\operatorname {Spec}(A)$ ¡no es coherente!

6) Un esquema es afín si todas sus láminas cuasi-coherentes son acíclicas ?
El criterio de Serre es que un esquema noetheriano $X$ es afín si y sólo si $H^p(X, \mathcal F)=0$ para todas las láminas cuasi-coherentes $\mathcal F$ en $X$ y todos $p\gt 0$ .
Esto ya no es válido si $X$ no se asume como noetheriano: dado un campo $k$ cualquier suma disjunta infinita $X=\coprod \operatorname {Spec}k$ satisface la condición de cohomología pero no es afín ya que no es cuasi-compacto.

Answer 2

Sólo por poner un ejemplo: Hay ciertas preguntas sobre la categoría derivada $D(R)$ de un anillo conmutativo $R$ donde las suposiciones noeterianas pueden realmente dar lugar a un comportamiento diferente. Por ejemplo, Neeman demostró que si $R$ es noetheriano, entonces las clases de Bousfield de $D(R)$ corresponden a subconjuntos arbitrarios del espectro $Spec(R)$ . Por otro lado, no tenemos conocimiento de las clases Bousfield de $D(R)$ cuando $R$ no es noeteriano, y puede haber un gran número de ellos. Por ejemplo, Dwyer y Palmieri escribieron un artículo en el que consideraban un álgebra polinómica truncada en un número contable de variables $R=k[x_1,x_2,\ldots,x_n]/(x_i^{n_i} \text{for all } i)$ y demostró que en este caso la red de Bousfield de $D(R)$ tiene una cardinalidad de al menos $2^{2^{\aleph_0}}$ .

Estas cuestiones son especialmente interesantes cuando se considera la analogía entre las categorías derivadas $D(R)$ y la categoría de homotopía estable $SH$ (que moralmente es la categoría derivada del espectro de la esfera). Los grupos de homotopía estable de las esferas son altamente noetherianos y gran parte de nuestra intuición sobre las categorías derivadas de los anillos noetherianos no se traslada a $SH$ .