Posible contraejemplo a un teorema asumiendo la conjetura de Lang

Question

Parece que he encontrado un contraejemplo a un teorema suponiendo Lang conjetura, pero seguro que no es correcto.

Acotamiento de Mordell–Weil filas de ciertas curvas elípticas y Lang conjetura p. 2

Teorema 1.3. Deje $K$ ser un finitely campo generado más de $\mathbf{Q}$. Deje $n \ge 8$ ser un número entero y dejar $\alpha_i, (i=0,\ldots,n)$ ser elementos fijos de $K$. Supongamos que una Conjetura 1.2 tiene por $k$ un finitely campo generado más de $\mathbf{Q}$ (cf. [2]). A continuación, hay sólo un número finito de curvas elípticas de la formulario de $y^2=a x^4 + b x^2 +c \; (a,b,c \in K)$ que han $\alpha_i$ como $x$-coordenadas de algunos $K$-puntos racionales. En particular, el Mordell–Weil filas de tales curvas elípticas son delimitada.

Deje que $K=\mathbb{Q}[\sqrt{21}], a=c=\frac{-\frac{112}{75} s^{4} + \frac{6647}{4725 s}^{2} - \frac{83521}{33339600}}{s^{2}} ,b=\frac{\frac{1799}{75} s^{4} - \frac{171377}{37800 s}^{2} + \frac{21464897}{533433600}}{s^{2}}, s \in K$.

Let $P(x)=a x^4 + b x^2 + a$. The discriminant depends on $s$ and $P(x)=P(-x)$.

Consider the elliptic curve $y^2=P(x)$ for $s$ para que el discriminante no se desvanezca.

Deje $n=9$ e $\alpha_i=\{1,2,4,1/2,1/4,-1,-2,-4,-1/2,-1/4\}$

$$P(1)= \left(21\right) \cdot s^{-2} \cdot (s - \frac{17}{84})^{2} \cdot (s + \frac{17}{84})^{2}$$ $$P(2)= \left(\frac{1764}{25}\right) \cdot s^{-2} \cdot (s^{2} + \frac{289}{7056})^{2}$$ $$P(4)= 289$$ $$P(1/2)= \left(\frac{441}{100}\right) \cdot s^{-2} \cdot (s^{2} + \frac{289}{7056})^{2}$$ $$P(1/4)= 289/256$$

All of the above are squares as are $P(-x)$.

For all infinitely many admissible choices of $s$, $\alpha_i$ se $x$-coordenadas.

El $j$ invariante de la Jacobiana depende de $s$.

Es esto realmente un contraejemplo al Teorema 1.3?

$a,b$ en forma legible por máquina:

 a=c=-1/33339600*(289+7056*s^2)^2/s^2+289/189
 b=257/533433600*(289+7056*s^2)^2/s^2-4913/756

Answer 1

Sí, este es un contraejemplo al Teorema 1.3. Pero parece que el problema es con la prueba del Teorema 1.3, y no es relevante para Lang conjetura. Es decir, que tu ejemplo contradice el Teorema 4.2 de este documento, que no depende de Lang conjetura. Entonces la prueba del Teorema 1.3 se basa en el Teorema 4.2, además de depender de la Lang es una conjetura. La única prueba dada por el Teorema 4.2 es "por el argumento en [4], se obtiene el siguiente teorema", por lo que no es del todo sorprendente si se produce un error ahí.

Añadido posterior: En realidad, el problema es que el autor sea necesario asumir que $\alpha_i^2\ne\alpha_j^2$ para $i\ne j$, en lugar de que $\alpha_i\ne\alpha_j$. De lo contrario, todo lo que él dice acerca de $W_n$ es malo. Es decir, dado elementos $\alpha_0,\alpha_1,\dots,\alpha_n$ de un campo de número de $K$, que él define $W_n$ a ser la subvariedad de $\mathbb{P}^n$ definido por las ecuaciones $$ \left| \begin{array}{cccc} 1&1&1&1 \\ \alpha_0^2&\alpha_1^2&\alpha_2^2&\alpha_i^2 \\ \alpha_0^4&\alpha_1^4&\alpha_2^4&\alpha_i^4 \\ Y_0 & Y_1 & Y_2&Y_i \end{array} \right| = 0\,\,\,(i=3,4,\dots,n). $$ Teorema 4.2 afirma que si $n\ge 8$, entonces la única curvas en $W_n$ de género $0$ o $1$ son las líneas $$ (Y_0,\dots,Y_9)=\bigl(\pm(s+t\alpha_0^2),\pm(s+t\alpha_1^2),\dots,\pm(s+t\alpha_n)^2\bigr).$$ Por supuesto, su ejemplo produce más género-$0$ curvas en $W_9$, y por lo tanto contradice el Teorema 4.2. Pero como ya he dicho, el problema real es que la autora debería haber asumido que el $\alpha_i^2$ son parejas distintas, ya que de lo contrario todo lo que él dice acerca de $W_n$ es malo.