Existencia y singularidad de la medida de Haar en compacta; un enfoque cohomológico

Question

Estoy tratando de usar una modificación de grupo cohomology para demostrar la existencia y unicidad de la medida de Haar en un compacto Hausdorff grupo.

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Creo que la mejor manera de introducir la idea de que yo persigo es a través de la analogía. Deje $G$ ser un grupo finito y deje $A = \mathbb{C}[G]$ ser el grupo de álgebra. Para cada una de las $G$-set $X$, hay un $A$-módulo de $[X, \mathbb{C}]$ (funciones de $X$ a $\mathbb{C}$). Para $g \in G$, $f^g$ envía $x$ a $f(xg)$.

Podemos ver $\mathbb{C}$ como $\mathbb{C}[G]$-módulo donde $g z = z$ por cada $z \in \mathbb{C}$. $\mathbb{C}$ incrusta en $[G, \mathbb{C}]$ como constante de funciones. Podemos entonces considerar la secuencia exacta
$$0 \rightarrow \mathbb{C} \rightarrow [G, \mathbb{C}] \rightarrow [G, \mathbb{C}]/ \mathbb{C} \rightarrow 0$$ Sabemos que esta secuencia se divide a causa de la simetrización mapa de $[G, \mathbb{C}] \rightarrow \mathbb{C}$ envío de $f \in [G, \mathbb{C}]$ a $\frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} f(g)$.

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Para la pregunta en cuestión, vamos a $G$ ser un compacto hausdorff grupo. Deje $A = \mathbb{C}[G]$. Esta es una $\mathbb{C}$-álgebra. Deje $C$ ser la categoría de topológico $\mathbb{C}[G]$-módulos (topológicas abelian grupos $A$ con un mapa de abelian grupos $\mathbb{C}[G] \rightarrow \text{End}_{\text{TopAb}}(A, A)$. Deseemos modificar esta tarde en conseguir algo abelian). Para cada topológico $G$-set $X$, $[X, \mathbb{C}]_{\text{Top}}$ (funciones continuas de $X$ a $\mathbb{C}$) es una $\mathbb{C}[G]$-módulo (también es un $C^*$-álgebra).

Podemos ver $\mathbb{C}$ como $\mathbb{C}[G]$-módulo donde $gz = z $ por cada $z \in \mathbb{C}$ y cada una de las $g \in G$. $\mathbb{C}$ incrusta en $[G, \mathbb{C}]_{\text{Top}}$ como constante de funciones. Podemos entonces considerar la secuencia exacta $$0 \rightarrow \mathbb{C} \rightarrow [G, \mathbb{C}]_{\text{Top}} \rightarrow [G, \mathbb{C}]_{\text{Top}}/ \mathbb{C} \rightarrow 0$$ Sabemos que esta secuencia se divide a causa de la medida de Haar $[G, \mathbb{C}]_{\text{Top}} \rightarrow \mathbb{C}$ envío de $f \in [G, \mathbb{C}]_{\text{Top}}$ a $\int_{G} f d \mu$.

Por otro lado, es posible que desee para mostrar que la secuencia se divide de otra manera, a partir de la cual se seguiría que una única medida de Haar existe. Por ejemplo, ¿qué es $\text{Ext}^1_{\mathbb{C}[G]}([G, \mathbb{C}]/\mathbb{C}, \mathbb{C})$? Puede que necesitemos modificar la categoría de $C$ a sentido de esta. Pero si tenemos éxito, y este cohomology grupo desaparece, entonces la secuencia se divide por la habitual caracterización de $\text{Ext}^1$ como la clasificación de las extensiones.

¿Alguien ve algo que decir para demostrar que $\text{Ext}^1$ se desvanece? No hay duda de que tenemos que utilizar en algún lugar que $G$ es compacto hausdorff (o al menos localmente compacto hausdorff), ya que el teorema no se cumple lo contrario. Recordemos que hay una equivalencia de categorías entre las $C^*$-álgebras y compacto hausdorff espacios topológicos, Gelfand la dualidad. El $C^*$-álgebra estructura de $[G, \mathbb{C}]_{\text{Top}}$ es una manera de que el compacto de hausdorff propiedad de $G$ podría mostrar en la prueba (no hay una equivalencia de categorías entre compacto hausdorff espacios topológicos con un continuo izquierda $G$-acción, por un lado, y $C^*$-álgebras con un derecho $G$-acción en el otro; la segunda es equivalente a $C^*$-álgebras de que se $\mathbb{C}[G]$-módulos, de manera compatible).

Answer 1

Arreglar un grupo compacto $G$ y considerar su categoría de Banach representaciones: los objetos son (complejidad) de los espacios de Banach $X$ dotado de una $G$-acción por automorphims (no necesariamente isometrías) de tal manera que la acción de los mapas de $G\times X\to X$ son conjuntamente continua y los morfismos son acotados mapas de $X\to Y$ los desplazamientos con el $G$-acciones.

Indicar el trivial de la representación por $\bf 1$. Es un inyectiva objeto en esta categoría, que por cada $0 \to X \to Y$ cada $f: X\to \bf 1$ puede ser extendido a $Y\to \bf 1$. Este hecho puede ser visto como un equivariant de Hahn-Banach teorema.

Me explico de una manera de ver esto. Por el clásico de Hahn-Banach teorema, $f$ se extiende a una funcional, $\bar{f}\in Y^*$, pero podría no ser invariante. Considerar el subconjunto de todas esas extensiones en $Y^*$ y considerar más a fondo la colección de todos los $G$-invariante compacto convexo subconjuntos del mismo. Esta colección no vacía, ya que contiene el casco convexo de la $G$-órbita de $\bar{f}$. El uso de la compacidad y el lema de Zorn para encontrar un mínimo elemento $C$ en esta colección, con respecto a la inclusión. $C$ debe ser un singleton, de lo contrario sería contienen un punto de $h$ que no es extremal y el casco convexo de la $G$-órbita de $h$ , sería un $G$-invariante comapct subconjunto convexo de $C$, contradiciendo su minimality, ya que no contiene ningún punto extremo de $C$. De ello se desprende que $C=\{h\}$ para algunos $G$-invariante funcional, que es un morhism $Y\to \bf 1$ extender $f$.

En particular, la breve secuencia exacta $0\to {\bf 1}\to C(G) \to C(G)/{\bf 1}\to 0$ se divide, mediante la adopción de $X=\bf 1$ e $Y=C(G)$. Los morfismos $C(G)\to \bf 1$ es el Haar integral.

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Observación 1: yo no respecto a lo categórico o cohomological enfoque para probar la existencia de la medida de Haar. Cualquier forma que se lo puede comprobar, demostrar un teorema de la división de.

Observación 2: El hecho de que $\bf 1$ es inyectiva en la categoría de Banach representaciones caracteriza grupos compactos entre todos localmente compacto segundo contables queridos.

Comentario 3: tener cuidado con la norma categórica interpretaciones de inyectividad y por igual, como categorías de Banach representaciones no son abelian.

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Permítanme justificar Observación 2. Ver aquí que cada localmente compacto segundo contables grupo tiene una adecuada isométrica afín a la acción en algunos reflexiva espacio de Banach $V$, dado por $v \mapsto \rho(g)(v)+c(g)$ donde $\rho$ es una representación isométrica de $G$ a $V$ e $c:G\to V$ es un 1-cocycle. Asumiendo $G$ es no compacta, esta acción no tiene ningún punto fijo. Considerar el espacio $V\oplus \mathbb{C}$ y dotarlo de la representación lineal $\pi$ dado por $\pi(g)(v,t)=(\rho(g)(v)+tc(g),t)$. Tenga en cuenta que la proyección de $(v,t)\mapsto t$ es $G$-invariante y no dividir. Deje $Y=(V\oplus \mathbb{C})^*$ dotado de la contragredient representación. Luego tenemos los morfismos ${\bf 1} \to Y$ que no divide.

Alternativamente, para las que no sean susceptibles de grupo podemos tomar $Y$ a ser el espacio de funciones continuas sobre un compacto $G$-el espacio sin medida invariante y no de la propiedad (T) grupo podemos tomar el espacio dual de un linealización, como en el anterior, de un isométrico afín a la acción en un espacio de Hilbert no tener ningún punto fijo, y la conclusión por el hecho de que todos los no-grupo compacto es susceptible o ha (T).