** ¿Estructura grupo ** en teoría de Chern-Simons?

Question

No Abelian Chern-Simons(C-S) tiene la acción $$ S=\int L dt=\int \frac{k}{4\pi}Tr[\big (\wedge d a + (2/3) de los a \wedge \wedge \big)] $$

Sabemos que el común de los casos, $A=A^a T^a$ es la conexión como una Mentira álgebra valores de un formulario. $T^a$ es el generador de la Mentira de grupo.

El caso bien conocido es el bien definida SU(2) C-teoría de S y SO(3) C-S teoría.

SU(2) es un compacto, simple, simplemente conectados a la Mentira del grupo.

SO(3) es un compacto, simple, se conecta pero no se conecta simplemente a la Mentira de grupo.

Pregunta: ¿cuál es el requisito mínimo en la estructura del grupo de $A$ en Chern-Simons teoría?

Podemos tener el grupo de $A$ de C-S teoría:

(1) a NO ser una Mentira grupo?

(2) a NO ser compacto?

(3) NO estar conectado?

(4) para ser una Mentira grupo, pero NO una simple Mentira grupo?

Por favor, ¿podría también explicar por qué es así, y mejor con algunos ejemplos de (1),(2),(3),(4).

ps. Por supuesto, sé C-S la teoría es necesaria para ser invariante bajo una transformación gauge $$A \to U^\dagger(A-id)U$$ con un límite de deriva de Wess-Zumino-Witten plazo. Aquí estoy cuestionando la restricción en el grupo. Muchas gracias!

Answer 1

El nLab es una gran referencia para todas estas cosas y parece responder a todas sus preguntas. Que hacer un mejor trabajo de explicar por qué lo que yo haría, probablemente no.

Su página en Chern-Simons Teoría parece responder a las preguntas (2)-(4). Dan un método para la construcción de Chern-Simons teorías de lo genérico compacto Mentira grupos en la página indicada. También tienen una sección que describe Witten la construcción de 2+1 de la gravedad, lo cual debería constituir un conjunto de ejemplos.

Dijkgraaf-Witten Teorías puede ser pensado como Chern-Simons teorías porque se construyen de la misma manera Chern-Simons teorías se construyen. Esto se puede ver comparando las dos definiciones y construcciones en el nLab páginas enlazadas aquí. En este sentido, el DW teorías CS teorías construidas a partir de grupos discretos.

Como ejemplos, creo que el más simple es el de D($\mathbb Z_2$) Dijkgraaf-Witten TQFT, que tiene un Hamiltoniano realización en Kitaev del Tóricas modelo de código.