En su notable libro La Teoría de Singularidades y sus Aplicaciones, Vladimir Arnol había discutido una conjetura de A. B. Givental, que afirma que el grupo de simetría del icosaedro es secreto que acechan en el problema de encontrar la ruta más corta de un punto a otro en una región del plano. A través de Huygen del principio, este problema está vinculado al movimiento de las olas en dicha región.
Arnol d muy bien expresa el asombro de los matemáticos sentir cuando descubren conexiones como este:
Por lo tanto la propagación de las ondas, en una 2-variedad con frontera, es controlado por un icosaedro oculto en un punto de inflexión en la frontera. Este icosaedro está oculto y no es difícil de encontrar incluso si su existencia es conocida.
Por desgracia, incluso ahora, una prueba plena de Givental la conjetura parece difícil encontrar! Puedes encontrar uno, o dar uno?
Permítanme esbozar la idea aquí. Para obtener más detalles, consulte:
Involuciona de una parábola cúbica, Visual Insight, 1 de Mayo de 2016.
Discriminante de la icosaédrica grupo, Visual Insight, 15 de Mayo de 2016.
Esta imagen, creada por Greg Egan, muestra el discriminante del grupo de simetría del icosaedro, un 120-grupo de elementos conocidos como $\mathrm{H}_3$.
Este grupo actúa como transformaciones lineales de $\mathbb{R}^3$, y por lo tanto también se $\mathbb{C}^3$. Por un teorema de Chevalley, el espacio de órbitas de este grupo de acción es de nuevo isomorfo a $\mathbb{C}^3$. Cada punto de la superficie que se muestra aquí corresponde a un no genérico órbita: una órbita con menos de la cantidad máxima de puntos. Más precisamente, el espacio de la no genérico órbitas forma un complejo de superficie en $\mathbb{C}^3$, llamado el discriminante de $\mathrm{H}_3$, cuya intersección con la $\mathbb{R}^3$ se muestra más arriba.
La siguiente imagen, creada por Marshall Hampton, muestra la involuciona de la curva de $y = x^3$:
A grandes rasgos, una evolvente de un avión de la curva de $C$ es un nuevo plano de la curva de $D$ obtenido por unir el extremo de una cuerda tensa a un punto de $p$ a $C$ y el rastreo de la ruta de la cadena del extremo libre como el viento a la cadena a $C$. Hay diferentes involuciona para diferentes opciones de $p$ y diferentes longitudes de cadena. Estoy ignorando algunas importantes matices aquí, algunos de los cuales son discutidos en mi entendimiento Visual de post.
Pero aquí está el punto: la involuciona, se muestra en azul, aspecto rebanadas de el discriminante de la icosaédrica grupo!
De hecho, Givental conjeturó esto es cierto, y Arnol d dice que esto ha sido demostrado. En La Teoría de Singularidades y sus Aplicaciones, escribió:
El discriminante del grupo $\mathrm{H}_3$ se muestra en la Fig. 18. Sus singularidades fueron estudiados por O. V. Lyashko (1982) con la ayuda de una computadora. Esta superficie tiene dos liso cusped bordes, uno de pedido 3/2 y el otro de orden 5/2. Ambos son cubically tangente en el origen. Lyashko también se ha demostrado que esta superficie es diffeomorphic para el conjunto de los polinomios de $x^5 + ax^4 + bx^2 + c$ con raíces múltiples.
La comparación de este discriminante con los patrones de la propagación de las perturbaciones en un manifold con frontera (estudiado tan temprano como en el libro de texto de L'Hôpital en la forma de una teoría de evolutes de las curvas planas), ha llevado a A. B. Givental a la conjetura (más tarde se probó por O. P. Shcherbak) que este discriminante localmente diffeomorphic a la gráfica de la multivalor en función de la hora en el avión problema de la ruta más corta, en un colector con límite, el cual es el genérico del plano de la curva.
(Figura 18 es un dibujado a mano la versión de la imagen en la parte superior de este post.)
Esto parece ser una emocionante reclamo digno de un buen conceptual de la prueba. Por desgracia, no he sido capaz de encontrar una completa prueba de la literatura, ni siquiera en los respectivos documentos de aspecto:
O. P. Shcherbak, las Singularidades de una familia de evolvents en la vecindad de un punto de inflexión de una curva, y el grupo de $\mathrm{H}_3$ generado por los reflejos, Funktsional. Anal. yo Prilozhen. 17:4 (1983), 70-72. Traducción al inglés en el Análisis Funcional y sus Aplicaciones a las 17:4 (1983), 301-303; versión gratuita disponible aquí.
O. P. Shcherbak, Frentes de onda y los grupos de reflexión, Uspekhi Mat. Nauk 43:3 (1988), 125-160. Traducción en inglés, en ruso Matemática Encuestas 43:3 (1988), 1497-194.
Las versiones rusa son de libre acceso; las versiones en inglés no lo son, pero el primer documento en que actualmente está disponible de forma gratuita en línea.
Tal vez un experto podría construir una prueba plena basada en las ideas en estos papeles! Para obtener más pistas y referencias, ver a mi entendimiento Visual de mensajes.
