¿Por qué habría que esperar una equivalencia derivada de las categorías?

Question

Esta pregunta es quizás algo blanda, pero espero que alguien pueda aportar una heurística útil. Mi interés en esta cuestión se refiere principalmente a varias equivalencias derivadas que surgen en la teoría de la representación geométrica.

Antecedentes

Por ejemplo, Bezrukavnikov, Mirkovic y Rumynin han demostrado lo siguiente: Sea $G$ sea un grupo algebraico reductor sobre un campo algebraicamente cerrado de característica positiva. Entonces existe una equivalencia entre la categoría derivada acotada de módulos para la gavilla $\cal D$ de operadores diferenciales cristalinos (de potencia dividida) sobre la variedad bandera, y la categoría derivada acotada de módulos con cierto carácter central para el álgebra envolvente $\cal U$ de Lie( $G$ ). Lo interesante es que es no es cierto que esta equivalencia se mantiene en el nivel no derivado: La categoría de $\cal D$ -no es equivalente a la categoría de $\cal U$ -módulos con el carácter central apropiado. Esto es cierto en la característica 0 (se trata de la correspondencia Beilinson-Bernstein), pero algo se rompe en la característica positiva: hay ciertas poleas "malas" que son $\cal D$ -módulos que hacen que la correspondencia no se mantenga.

Hay otros resultados en la teoría de la representación geométrica de esta forma. Por ejemplo, Arkhipov, Bezrukavnikov y Ginzburg han demostrado que existe una equivalencia (en característica 0) entre la categoría derivada acotada de un cierto bloque de representaciones para el grupo cuántico asociado a $G$ y la categoría derivada acotada de $G \times \mathbb C^*$ -sobre el haz cotangente de la variedad bandera de $G$ . De nuevo, esta equivalencia no se mantiene en el nivel no derivado.

En general, hay una serie de resultados en la teoría de la representación geométrica que se mantienen en el nivel derivado, pero no en el nivel no derivado.

Pregunta

Esta es mi pregunta: ¿Por qué se puede esperar que una equivalencia derivada se mantenga, cuando la equivalencia no derivada no lo hace? Parece como si el paso al nivel derivado arreglara en algún sentido algo que se rompió en el nivel no derivado; ¿cómo lo hace?

Answer 1

Otra motivación es más básica. Por ejemplo, en la teoría de la representación modular de los grupos finitos es frecuente que se tengan dos bloques $A$ y $B$ de dos grupos diferentes y se sospecha (por ejemplo) que ambos bloques tienen el mismo número de módulos simples (un ejemplo de ello lo da la conjetura de Alperin).

Ahora, supongamos que $A$ y $B$ son equivalentes a Morita. Entonces no sólo $A$ y $B$ tienen el mismo número de módulos simples, pero al especificar una equivalencia de Morita se obtiene una biyección entre los módulos simples.

Sin embargo, a menudo, $A$ y $B$ no son equivalentes de Morita, sino equivalentes derivados. Los grupos de Grothendieck de $D^b(A)$ y $D^b(C)$ tienen una base dada por las clases de los módulos simples de $A$ y $B$ . Una equivalencia derivada induce un isomorfismo entre los grupos de Grothendieck, y por tanto $A$ y $B$ tienen el mismo número de módulos simples si son derivados equivalentes. Nótese ahora, sin embargo, que la equivalencia derivada no induce una biyección entre módulos simples, porque los módulos simples no necesitan corresponder bajo la equivalencia derivada.

Un ejemplo de este enfoque es la conjetura del grupo abeliano defectuoso de Broué (que predice una equivalencia derivada entre ciertos $A$ y $B$ ). Implica la conjetura de Alperin (en el caso del defecto abeliano), pero proporciona una razón estructural para la igualdad (y también implica resultados mucho más estructurales sobre caracteres, "isometrías perfectas"...).

Por lo tanto, se puede buscar una equivalencia derivada para dar una explicación estructural a varias igualdades numéricas concretas.

(Creo que otro ejemplo de esto viene dado por el uso que hace Bezrukavnikov de las láminas coherentes perversas en el cono nilpotente para explicar algunas equivalencias numéricas observadas por Vogan, pero no sé mucho sobre esto).

Answer 2

Descargo de responsabilidad : No soy un experto.

Curiosamente acabo de volver de un maravilloso seminario de geometría impartido por Richard Thomas, quien dio precisamente una heurística que aborda, quizá si no tu pregunta exacta, por qué a veces hay que ir a la categoría derivada para obtener la equivalencia.

Esto es en el contexto de la simetría homológica de espejo à la Kontsevich. A grandes rasgos (¿he dicho que no soy un experto?), la simetría homológica en espejo es una equivalencia conjetural entre categorías derivadas: la categoría derivada de las láminas coherentes en una variedad de Calabi-Yau y la categoría derivada de Fukaya del espejo. Esta última tiene sentido para las variedades simplécticas, mientras que la primera lo tiene para las variedades complejas. Por lo tanto, en cierto sentido la simetría homológica del espejo está relacionando la geometría simpléctica con la geometría compleja.

Ahora bien, la geometría simpléctica es muy "floja": los simplectomorfismos son pan comido y, por lo tanto, la categoría de Fukaya tiene muchas autoequivalencias, a diferencia de la categoría de gavillas coherentes debido a la rigidez de la geometría compleja. Por lo tanto, no cabe esperar una equivalencia de categorías. Lo que hace el paso a la categoría derivada es proporcionar las autoequivalencias adicionales que requiere la simetría especular.

Estoy seguro de que otros aquí pueden hacer esto mucho más preciso y yo, por mi parte, disfrutaría leyendo su versión. Por eso estoy convirtiendo esta respuesta en una wiki comunitaria.

Answer 3

Hace tiempo hice una pregunta similar a Daniel Huybrechts, en forma de "Si tengo una equivalencia derivada entre dos variedades, ¿qué me dice esto sobre la relación entre las dos variedades?"

Su respuesta fue que esto debe ser considerado crudamente como decir que cada una de las variedades es el espacio de moduli para un problema de moduli (suficientemente interesante) en la otra variedad. Esta es, sin duda, la perspectiva "Fourier-Mukai", que dice que para entender una equivalencia derivada, hay que ver dónde van las gavillas de puntos bajo la equivalencia.

No responde a tu pregunta en general, pero es una heurística útil en algunos casos geométricos.

Answer 4

Una respuesta burda es que pasar a funtores derivados soluciona un obstáculo para ser una equivalencia. Cualquier equivalencia de categorías abelianas es ciertamente exacta (es decir, preserva las secuencias exactas cortas), aunque muchos funtores exactos no son equivalencias (por ejemplo, pensemos en las representaciones de un grupo y olvidemos la acción G).

Lo que hace el functor derivado es arreglar este problema de forma canónica; hay que sustituir las secuencias cortas exactas por triángulos exactos, pero se obtiene un functor que es su original "hasta el orden zeroth", exacto, y que se distingue únicamente por estas propiedades.

Entonces, lo que hace BMR es tomar un functor que ni siquiera es exacto (y por lo tanto obviamente no es una equivalencia), y mostrar que la falta de exactitud es "el único problema" para que sea una equivalencia.

EDITAR: Permítanme añadir, desde una perspectiva más filosófica, que las equivalencias derivadas son mucho más comunes. Simplemente hay más de ellas en el mundo. Dado un álgebra A, las equivalencias de Morita a A se clasifican esencialmente por módulos A generadores proyectivos, mientras que las equivalencias derivadas de Morita de las álgebras dg están en biyección con todos los objetos de la categoría derivada de $A-mod$ que generan (en el sentido de que nada tiene trivial Ext con ellos): se mira el álgebra dg-Ext del objeto consigo mismo. Si tienes un álgebra interesante (digamos, una de dimensión finita de tipo representación salvaje), hay muchas más de las segundas que de las primeras en un sentido muy preciso. Por supuesto, la gran mayoría de ellas son completamente incalculables y no dicen nada, pero hay suficientes en la mezcla para hacer las cosas interesantes.

Answer 5

Lo siguiente puede ser útil para su pregunta:

http://arxiv.org/pdf/math.RA/9810134