No puedo decir que lo voy a relacionar es fundamental, pero no encaja en la nueva categoría de las ideas. Desde que y (mi colaborador) Florent Balacheff han impartido charlas sobre el tema y el papel será en el ArXiv en un par de días me siento libre para hacer un comentario sobre él. Este post es un annoucement de trabajo conjunto con Florent Balacheff y Kroum Tzanev.
Como comentario, el resultado básico en la geometría de los números es de Minkowski de la (primera) teorema: Si el volumen de un $0$-simétrica cuerpo convexo $K \subset \mathbb{R}^n$ al menos $2^n$,, a continuación, $K$ contiene un entero distinto de cero punto.
Pero ¿qué sucede cuando el cuerpo no es $0$-simétrica? Es fácil ver que Minkowski del teorema de falla por completo, pero eso es porque uno no está pensando symplectically. Mediante el uso de algunas Hamiltoniana de la dinámica de la clase Balacheff y he utilizado para el estudio de isosystolic las desigualdades en este trabajo, nos imaginamos que el "derecho" resultado debe ser el siguiente:
Conjetura. Si un cuerpo convexo en $\mathbb{R}^n$ no contiene entero punto distinto del origen, entonces el volumen de su doble cuerpo con respecto al origen es al menos (n+1)/n!
En otras palabras, uno debe tener una especie de principio de incertidumbre: si el origen se localiza como el número entero único punto en el interior de un cuerpo convexo, el doble cuerpo no puede ser demasiado pequeño. De hecho, su volumen es acotada abajo por $(n+1)/n!$. Otra formulación de la conjetura de que parece más elemental es el siguiente:
Si cada hyperplane $m_1x_1 + \cdots m_nx_n = 1$, donde el $m_i$ son enteros no todos iguales a cero, se cruza con un cuerpo convexo $K \subset \mathbb{R}^n$, entonces el volumen de $K$ al menos $(n+1)/n!$
Hemos demostrado la conjetura en el caso de $n = 2$ y el asintótica versión:
Teorema. Existe una (universal) constante $C \leq 1$ de manera tal que si un cuerpo convexo $K \subset \mathbb{R}^n$ no contiene entero punto distinto del origen, entonces el volumen de
$K^*$ al menos $C^n(n+1)/n!$.
De hecho, este resultado es equivalente a Bourgain-Milman. Por otra parte, es fácilmente implica la versión asintótica de una conjetura de Ehrhart:
Teorema. Existe una constante universal de $c \geq 1$ que si $K \subset \mathbb{R}^n$ es un cuerpo convexo con baricentro en el origen y contiene ningún otro punto entero, entonces el volumen de $K$ es en la mayoría de las $c^n (n+1)^n/n!$.
Sin embargo, lo que es realmente interesante para nosotros es que al menos en el caso de $n=2$ el resultado trascends la geometría de los números y es realmente un resultado en la dinámica Hamiltoniana. Sólo necesito una definición:
Definición. Una hipersuperficie en la cotangente del paquete de un colector $M$ se dice óptico
si su intersección con cada espacio cotangente es un convexo hipersuperficie que encierra el origen.
Ópticas hipersuperficie en la cotangente de un pacto colector podemos asociar dos números: el simpléctica volumen de la región encerrada por $\Sigma$ y el mínimo de la acción de su periódico características.
Teorema. Una óptica hipersuperficie $\Sigma$ en el espacio cotangente de los dos toro lleva un periódico característica cuya acción es menor o igual a la raíz cuadrada de los dos tercios de la simpléctica volumen encerrado por $\Sigma$.
La desigualdad es fuerte.
Finsler los geómetras será más feliz si yo traduzco: Si el Holmes-Thompson volumen de un (no reversible) Finsler $2$-torus $(T^2,F)$ es$3/2\pi$,, a continuación, $(T^2,F)$ lleva a un (no contráctiles) periódico geodésica de longitud en la mayoría de las $1$.
En otras palabras, este es el (no reversible) Finsler versión de Loewner sistólica de la desigualdad. El reversible de Finsler versión (reemplace $3/2\pi$ por $2/\pi$) es debido a Stéphane Sabourau y se puede encontrar aquí.
