¿generalizaciones del Teorema de Seifert-van Kampen?

Question

He estado leyendo el libro de Jacob Lurie "Álgebra Superior", versión 8 de mayo de 2011. Uno le está agradecido por abarcar tanto y por ponerlo todo tan a mano.

Me llamó la atención la Sección A.3 sobre "El Teorema de Seifert-van Kampen" p. 845.

Comienza enunciando el teorema clásico que determina el grupo fundamental de un espacio puntiagudo que es la unión de dos conjuntos abiertos con intersección conectada por caminos. (El teorema más general de este tipo es el del grupo fundamental sobre un conjunto $A$ de puntos base para un espacio $X$ que es la unión de una familia $\mathcal U$ de conjuntos abiertos y tal que $A$ cumple cada componente de camino de todas las intersecciones de 1,2,3 pliegues de los conjuntos de $\mathcal U$ ).

Afirma: "En esta sección, demostraremos una generalización del teorema de Seifert-van Kampen, que describe todo el tipo de homotopía débil de $X$ en términos de cualquier cobertura suficientemente agradable de X por conjuntos abiertos: Teorema A.3.1". Sin embargo, este teorema no menciona los grupos ni las condiciones de conectividad.

Así que mi pregunta es: ¿Cómo se deduce la SvKT tal como se enuncia allí, o su versión más general, a partir del Teorema A.3.1?

El propio teorema A.3.1 parece estrechamente relacionado con los teoremas clásicos sobre escisión, que muestran que el complejo singular es equivalente en homotopía de cadena al complejo singular de $\mathcal U$ -pequeñas símplices. (No tengo la referencia más antigua para esto, pero me gusta la prueba de R. Sch\ "on de Proc. AMS 59 (1976).)

Un punto particular para la deducción de la versión más general de la SvKT es: ¿por qué el número 3? Una explicación es que tiene que ver con la dimensión de Lebesgue de $\mathbb R^2$ .

Answer 1

En realidad no veo cómo deducir la versión de la SvKT clásica sobre un conjunto de puntos base $A$ directamente de la versión de Lurie. Parece que para aplicar el teorema de Lurie, necesitaríamos la hipótesis más fuerte de que $A$ se encuentra con cada componente de ruta de cada finito intersección de conjuntos abiertos en $\mathcal{U}$ (lo cual es razonable, ya que la conclusión del teorema de Lurie es una afirmación más fuerte sobre fundamental $\infty$ -groupoides en lugar de sólo 1-groupoides fundamentales). Pero creo que podemos adaptar su demostración para derivar la versión clásica.

Esto es lo primero que voy a intentar demostrar: dejemos que $\chi:C\to \mathcal{O}(X)$ sea un functor, con $C$ una categoría pequeña y $\mathcal{O}(X)$ el poset de aperturas en $X$ . Para cada $x\in X$ definir $C_x$ como hace Lurie, sea la subcategoría completa de $C$ que abarcan esos objetos $c$ avec $x\in\chi(c)$ . Supongamos que para cada $x$ el nervio de $C_x$ es simplemente conectado . Entonces tenemos $\Pi_1(X) \cong \mathrm{colim}_{c\in C}\; \Pi_1(\chi(c))$ siendo el colímite un 2-colímite débil de groupoides.

Imitando el argumento de Lurie en el caso 1-truncado, tenemos un (pseudo 2-)functor $F:\mathrm{Gpd}^{\mathcal{O}(X)^{\mathrm{op}}} \to \mathrm{Gpd}$ definido por la extensión Kan del functor $\Pi_1 : \mathcal{O}(X) \to \mathrm{Gpd}$ . El topos (2,1) $\mathrm{Sh}_{(2,1)}(X)$ es la localización (bicategórica) de $\mathrm{Gpd}^{\mathcal{O}(X)^{\mathrm{op}}}$ en los tamices de recubrimiento, y la A.3.2 de Lurie muestra que $F$ invierte estos tamices de cobertura y, por tanto, los factores a través de $\mathrm{Sh}_{(2,1)}(X)$ . En particular, este funtor inducido $F:\mathrm{Sh}_{(2,1)}(X) \to \mathrm{Gpd}$ preserva los colímites (bicategóricos).

Así pues, basta con demostrar que nuestro functor $\chi:C\to \mathcal{O}(X)$ tiene colímite $X$ (el objeto terminal) cuando se compone con la incrustación de Yoneda en $\mathrm{Sh}_{(2,1)}(X)$ . Y como $\mathrm{Sh}_{(2,1)}(X)$ tiene suficientes puntos (al ser gavillas sobre un espacio topológico), basta con comprobarlo en todos los tallos. (En una dimensión categórica finita, no hay hiperincompletitud de la que preocuparse). Pero en el tallo sobre $x\in X$ El $C$ -diagrama es trivial en esos $c\in C_x$ y vacío en los otros, por lo que su colímite es simplemente el reflejo grupoide de $C_x$ que se suponía terminal (esto equivale al nervio de $C_x$ simplemente conectados).

Esto completa la demostración de la versión 1-grupoidal del teorema de Lurie. Deduzcamos ahora un enunciado más clásico. Sea $X$ ser nuestro espacio y $\mathcal{U}$ una cubierta abierta de la misma. Definir $C$ como la categoría de las intersecciones de 1, 2 o 3 pliegues de conjuntos abiertos en $\mathcal{U}$ cuyos morfismos son las inclusiones canónicas de un $(n+k)$ -a una intersección $n$ -y que $\chi$ sea el functor obvio.

Para cualquier $x\in X$ la categoría $C_x$ es obviamente no vacío (porque $\mathcal{U}$ cubre $X$ ) y conectado (porque si $x\in U$ y $x\in V$ entonces $x\in U\cap V$ ). No es mucho más difícil ver que está simplemente conectada: dos zigzags paralelos cualesquiera de inclusiones pueden hacerse iguales pasando por un máximo de intersecciones triples. Así, tenemos

$$\Pi_1(X) \cong \mathrm{colim}_{c\in C} \; \Pi_1(\chi(c)).$$

Ahora dejemos que $A\subseteq X$ sea un subconjunto que cumple todos los componentes de camino de todas las intersecciones de 1, 2 y 3 pliegues de conjuntos abiertos en $\mathcal{U}$ . Entonces $\Pi_1(\chi(c))$ es equivalente a su subgrupoide completo $\Pi_1(\chi(c),A)$ abarcada por objetos que son puntos de $A$ tal cual $\Pi_1(X)$ . Dado que los colímites bidimensionales son invariantes por equivalencia de groupoides, la afirmación anterior se aplica también a estos groupoides.

Ahora bien, la SvKT generalizada de Ronnie y sus coautores equivale a pedir que $\Pi_1(X)$ sea el estricto colímite del functor $c\mapsto \Pi_1(\chi(c),A)$ en la categoría 1 de los grupoides, por lo que básicamente basta con demostrar que este 1-colímite estricto es también un 2-colímite (débil). Ahora $C$ es una categoría directa, y $\mathrm{Gpd}$ es una categoría modelo con la estructura modelo canónica (las equivalencias débiles son equivalencias, las cofibraciones son inyectivas en los objetos), por lo que $\mathrm{Gpd}^C$ hereda una estructura modelo Reedy para la que la adjunción

$$ \mathrm{colim} : \mathrm{Gpd}^C \;\rightleftarrows\; \mathrm{Gpd} : \Delta $$

es Quillen. De ello se deduce que el 1-colímite de un diagrama cofibrante de Reedy es también un 2-colímite. Desgraciadamente, $c\mapsto \Pi_1(\chi(c),A)$ no es cofibrante Reedy, pero lo es "en parte". Por ejemplo, para cualquier $U\in \mathcal{U}$ considere el objeto de enclavamiento

$$ L_U = \mathrm{coeq}\left( \coprod_{V,W} \Pi_1(U\cap V\cap W,A) \;\rightrightarrows\; \coprod_{V}\Pi_1(U\cap V,A) \right) $$

A continuación, el mapa $L_U \to \Pi_1(U,A)$ es inyectivo sobre objetos; por tanto, nuestro functor es al menos cofibrante de Reedy "en el nivel superior". Bastará con demostrar que si $G\in \mathrm{Gpd}^C$ es "suficientemente cofibrante Reedy" en sentidos como éste, entonces $\mathrm{colim}(G)$ puede calcularse de forma homotópica e invariante.

Sea $G\in \mathrm{Gpd}^C$ y enumerar los elementos de $\mathcal{U}$ (quizás transfinitamente) como $(U_\alpha)_{\alpha<\lambda}$ . Definiremos una secuencia transfinita de groupoides $$ H_0 \to H_1 \to H_2 \to \cdots $$ tal que $H_\alpha$ es el colímite de $G$ restringida a la subcategoría de $C$ determinado por el $U_\beta$ avec $\beta<\alpha$ y sus intersecciones pares y triples. Por supuesto, podemos tomar $H_0 = 0$ . Ahora bien $H_\alpha$ definir $H_{\alpha+1}$ para ser el pushout de $H_\alpha$ y $G(U_{\alpha})$ a lo largo de $$ K_\alpha = \mathrm{coeq}\left( \coprod_{\beta,\gamma < \alpha} G(U_\alpha \cap U_\beta \cap U_\gamma) \;\rightrightarrows\; \coprod_{\beta<\alpha} G(U_\alpha \cap U_\beta) \right). $$ Por límite $\alpha$ Por supuesto, definimos $H_\alpha$ para ser el colímite. Es fácil comprobar que cada $H_\alpha$ es el colímite como se afirma, y por tanto $\mathrm{colim}_{\alpha<\lambda} \; H_\alpha = \mathrm{colim} \; G$ .

Supongamos $G$ tiene la propiedad de que el mapa $K_\alpha \to G(U_\alpha)$ es inyectiva en los objetos (una cofibración) para cada $\alpha$ . Entonces el pushout definiendo $H_{\alpha+1}$ es un pushout homotópico y, por tanto, homotópico-invariante. Además, el mapa $H_\alpha \to H_{\alpha+1}$ es de nuevo una cofibración, por lo que los colímites en las etapas límite son también colímites homotópicos y, por tanto, homotópicamente invariantes. Por tanto, para $G$ con esta propiedad, los colímites estrictos son 2 colímites. Pero nuestro functor $c\mapsto \Pi_1(\chi(c),A)$ sí tiene esta propiedad (es una versión ligeramente más fuerte de ser "Reedy cofibrante en el nivel superior").

Así, su colímite estricto es también un colímite homotópico, por lo que $\Pi_1(X,A)$ es equivalente a este colímite estricto. El teorema de Ronnie y coautores afirma que es de hecho isomorfo a este colímite estricto, pero es fácil comprobar que tiene el mismo conjunto de objetos que el colímite estricto (a saber $A$ ), y una equivalencia de groupoides que es biyectiva sobre objetos es un isomorfismo.

Answer 2

Mi impresión (que es la de un total no experto) es la siguiente:

Los espacios, según la "hipótesis de homotopía", son lo mismo que $(\infty, 0)$ -categorías. Esto se desprende del trabajo de Lurie (y Joyal) si se acepta que las cuasicategorías son un modelo apropiado para $(\infty, 1)$ -categorías: es un resultado que una cuasicategoría con cada 1-morfismo invertible es lo mismo que un complejo de Kan.

Sea $X$ sea un espacio, y sea $U, V$ sean subconjuntos abiertos que cubren $X$ . Entonces tenemos un diagrama de homotopía pushout que expresa $X$ como el empuje homotópico $U \sqcup_{U \cap V} V$ . En otras palabras, si pensamos en términos de mayor groupoides , $X$ es el pushout homotópico del $\infty$ -correspondientes a $U, V, U \cap V$ .

Describir completamente el tipo homotópico de un empuje homotópico (es decir, en términos de grupos homotópicos y demás) es realmente difícil: ¡si no, conoceríamos todos los grupos homotópicos de las esferas! Lo que deduzco de esto es que los modelos explícitos para la teoría de categorías superiores con los que se puede calcular fácilmente son probablemente muy complicados, o de lo contrario la teoría de la homotopía sería fácil.

Sin embargo, podría haber más suerte si nos limitamos a casos especiales. Por ejemplo, existe una equivalencia entre espacios 1-truncados (espacios sin grupos de homotopía mayores que $\pi_1$ ) y groupoides, dados tomando el groupoide fundamental. Resulta que podemos calcular con groupoides: existe, por ejemplo, una buena presentación de la categoría modelo de los groupoides, y podemos averiguar cuál es el empuje homotópico de los groupoides.

Dado que el truncamiento por debajo de $n$ es un adjunto a la izquierda, esto equivale a decir que tomar el groupoide fundamental envía cuadrados de homotopía en espacios a cuadrados de homotopía en groupoides. Éste es precisamente el teorema clásico de van Kampen (aunque enunciado para groupoides y no para grupos). $n$ -groupoide de un espacio" (me refiero al truncamiento por debajo de $n$ ) conmuta con los empujes de homotopía.

(Ejemplo: si queremos demostrar que $\pi_1(S^1) = \mathbb{Z}$ observamos que $S^1 $ es un pushout homotópico $\ast_{\sqcup S^0} \ast$ por lo que tenemos que calcular la "suspensión" del grupoide discreto en dos elementos. Tomar la homotopía pushout equivale a añadir dos isomorfismos que identifican los dos puntos, lo que da un groupoide equivalente a $\mathbb{Z}$ .)

Tengo entendido que ha trabajado en la generalización del teorema clásico de van Kampen a grupos de homotopía superiores. Mi conjetura es que, en el lenguaje de Lurie, algo de eso se traduciría en la construcción de un modelo algebraico explícito para grupos 2 y superiores (en contraposición a los espacios 2 truncados) y un medio de calcular los pushouts de homotopía (pero sólo estoy especulando aquí), es decir, me parece que sería bastante diferente de lo que hace el "Álgebra Superior".