Estoy pidiendo una manera de calcular el rango de la 'unión' de un montón de subespacios cuyas intersecciones por pares podrían ser distintas de cero. Así que en el caso n 2 esto es sólo %-%-%. Para el % en general, no conozco una buena fórmula.
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meds
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271
Como el enlace del blog, para cualquier colección finita de subespacios U_1,...,U_n hay un complejo de cadena
$$0 \to \cap U_i \to \ldots \to \bigoplus U_i \cap U_j \cap U_k \to \bigoplus U_i \cap U_j \to \bigoplus U_i \to \sum U_i \to 0$$
donde el rth plazo después de la mano izquierda de cero es la suma directa externa de (n-r+1)-veces intersecciones de U_i del. El diferencial envía $$x \in U_{i_1} \cap \cdots \cap U_{i_r}$$ a $$\sum_j (-1)^j (x \in U_{i_1} \cap \cdots \hat{U_{i_j}} \cap \cdots \cap U_{i_r})$$
El fracaso de la "inclusión-exclusión para espacios vectoriales" es el fracaso de la exactitud de dicha secuencia. Por ejemplo, para tres subespacios el único no-trivial de homología es H^1 que es $(U \cap (V+W))/(U\cap V + U \cap W)$ es decir, mide el fracaso de la distributividad.
Usted puede averiguar cuál es la característica de Euler de la secuencia varias veces, usando la fórmula de dim(U+V). Lo que esto da para 4 subespacios es que la alternancia suma de los números de Betti es
$$|((U \cap V) \cap (U\cap W + U \cap X)) / (U \cap V \cap W + U \cap V \cap X) |$$ menos la suma de $$| (V \cap (W+X))/(V \cap W + V \cap X) |$$ y $$| ( U \cap (V+W+X) )/ (U\cap V + U\cap W + U \cap X) |$$
donde he escrito |s para "dim". Primera homología es la suma directa de $$( U \cap (V+W+X) )/ (U\cap V + U\cap W + U \cap X) \oplus (V \cap (W+X))/(V \cap W + V \cap X) $$
Ejemplo1: 4 planos en R^3, con la intersección de cualquiera de los 3 es {0}. A continuación, 2º homología es 1-dim y el 1 de homología es cero. Euler char es de 3 a 8+6=1.
Ejemplo2: 4 planos en R^3, de las cuales tres se reúnen en una línea, y el otro en "situación general". Euler char 3-8+6-1=0, no hay homología.
Esto debe ser parte de algún tipo de homología de la teoría para el subespacio de las configuraciones, pero no parece ser en la literatura.
Descargo de responsabilidad: esto es todo de algunas de las antiguas notas de la mía, y yo no puedo responder por qué tan confiable es
Scott Kramer
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182
Lo que va mal con una prueba de inclusión-exclusión, como se trató en el post que Qiaochu enlaces, es la de que $A \cap (B + C) \neq (A \cap B) + (A \cap C)$. Usted puede ser capaz de obtener una utilidad expresión de la dimensión de la combinación de un montón de subespacios, mirando a la dimensión de los más complicados espacios expresa utilizando reúne y une.
En el artículo "Un Quantum Lovasz Local Lexema" (arxiv enlace; no te asustes por el "quantum" en el título, la motivación es cuántica, pero los teoremas son sólo acerca de las dimensiones de las combinaciones, se reúne, y se complementa de subespacios) no es definitivamente un no-trivial teorema demostrado acerca de las dimensiones de los espacios de uso de este cálculo de cumple y las articulaciones. Así que dependiendo de lo que usted quiere, usted podría ser capaz de encontrar algunos interesantes expresiones de la dimensión de la combinación de un conjunto de espacios.
idbrii
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482
Una manera de ver a esta pregunta es a través de la aljaba de representaciones. Dos subespacios de un espacio vectorial formar una representación de la aljaba $A_3$ con orientaciones $\bullet \rightarrow \bullet \leftarrow \bullet$ con la condición adicional de que ambos mapas son inyectiva (que es la tautología). Ahora, cada representación de $A_3$ es una suma de indecomposables, cuya dimensión de los vectores de (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), (1,1,0), (0,1,1), (1,1,1), donde para el primero y el tercero los mapas no son inyectiva, y los cuatro restantes los mapas son inyectiva. Por lo tanto, el vector de dimensión para una representación genérica con inyectiva maps es un(0,1,0)+b(1,1,0)+c(0,1,1)+d(1,1,1)=(b+d a+b+c+d c+d). Claramente, la dimensión de la suma de dos subespacios es b+c+d (el complemento está representado por el primer sumando un(0,1,0)), que es (b+d)+(c+d)-d, y d es la dimensión de la intersección.
Ahora, para los tres subespacios nos ocupamos de las representaciones de la aljaba $D_4$ con inyectiva mapas. (Soy demasiado perezoso para dibujar $D_4$ MO, lo siento!). Indecomposable representaciones tienen la dimensión de los vectores $(d_1,d_2,d_3,d)$ (nota de pedido diferente de dimensiones - la más grande es la última) se (1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0), (0,0,0,1), (1,0,0,1), (0,1,0,1), (0,0,1,1), (1,1,0,1), (1,0,1,1), (0,1,1,1), (1,1,1,1), (1,1,1,2) - en total 12 los vectores. Entre ellos, los tres primeros no inyectiva mapas, y la cuarta captura el complemento de la suma de las tres subespacios. Por lo tanto, hay 8 números a través de la cual la dimensión puede ser expresa (no 7, como en la inclusión-exclusión de la fórmula), y lo que queda es elegir el 8 de número, además de las dimensiones de todas las posibles intersecciones, razonablemente a sus necesidades.
Para $k>3$ subespacios el problema de clasificación deja de ser finitos tipo por lo que se vuelve un poco más desagradable...
user59239
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61
Yo sólo quería señalar, para otros lectores, el excelente papel de Gian-Carlo Rota "En los fundamentos de la teoría combinatoria I. Teoría de la función de Möbius"
http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/papers/rota1.pdf
El papel de alguna manera establece el marco adecuado para generalizar la inclusión-exclusión en el principio (que es, básicamente, un caso especial de Möbius de la inversión).
(Yo quería hacer un comentario siguiente Shor la respuesta, pero parece que no tengo suficiente reputación de crédito ^^ ...)
Bahar
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81
La pregunta inmediatamente me recordó a esta respuesta al famoso post de"Ejemplos de falsas creencias comunes en matemáticas". Obviamente, no responde a la pregunta, pero creo que añade algo informativo y digno.
