Rebotando una pelota por las escaleras

Question

En pocas palabras, la pregunta es si puede ser más rápido para hacer rebotar una pelota por una infinita escalera que rebote hacia abajo por una rampa con la misma pendiente.

Para ser más específicos: este es un $2$ dimensiones del problema, por lo que a mi bola es un disco y toda la acción se lleva a cabo en $\mathbb{R}^2$. Me imagino una infinita escalera con pasos a tener la profundidad de $1$ y la altura de la $1$, la esquina superior de la parte superior del paso, está en el origen (y a la escalera que está orientada hacia abajo y hacia la derecha). La pelota tiene radio de $1$, por lo que cuando tiramos la pelota en las escaleras y tendrá un impacto en una esquina externa de una escalera cada vez. La gravedad actúa hacia abajo con una aceleración constante $g$. Podemos calcular los rebotes, sustituyendo el único punto de esquina de la escalera con una línea imaginaria tangente a la pelota en el punto de impacto.

Deje $s(t)$ ser $x$-coordinar en el tiempo $t$ de la pelota rebotando hacia abajo por las escaleras, y deje $r(t)$ ser $x$-coordinar en el tiempo $t$ de la bola de desplazamiento hacia abajo de la rampa.

PREGUNTAS:

1. Hay condiciones iniciales para que $s(t) > r(t)$ para todos lo suficientemente grande $t$?
2. La respuesta depende del valor de $g$?

IDEAS:

1. Podemos determinar la distribución de los ángulos de incidencia? Es el uniforme? ¿La distribución rigen el comportamiento a largo plazo de $s$?

2. Se puede sustituir la bola/escaleras del sistema con un equivalente en el que hacemos un seguimiento de sólo el centro de la bola. El centro de la pelota rebota hacia un "adoquines rampa" de los círculos de barrio (con un radio de $1$) en dirección hacia abajo y a la derecha en la ladera $-1$.

Answer 1

Considerar las trayectorias que se inician en la pendiente. Medimos el éxito por cuanto tiempo tarda en llegar a cualquier punto de una determinada distancia vertical por debajo del punto de partida (que no es exactamente el éxito de la medida en la pregunta, pero puede ser una buena reemplazo).

Deje $s$ el valor de la distancia a lo largo de la trayectoria. Deje $t(s)$ ser el momento en el que el punto de $s$ es alcanzado, y $y(s)$ ser el desplazamiento vertical del punto de partida (medido hacia abajo). También vamos a $u$ ser la velocidad inicial. Ya que las colisiones son elásticas, de conservación de la energía implica que la velocidad de la pelota cuando ella se ha ido a distancia $s$ a lo largo de su trayectoria es $\sqrt{u^2+2g\, y(s)}$. De esto se sigue que $$t(s) = \int_{0}^s \frac{dq}{\sqrt{u^2 + 2g\, y(q)}}.$$ Ahora supongamos que usted podría elegir cualquier trayectoria de mentir sobre o arriba de la pendiente suave. Para las trayectorias de longitud dada $s$, y se puede minimizar $t(s)$ mediante la maximización de $y(q)$ tanto como sea posible para $0\le q\le s$, lo que parece un poco vaga valor hasta que te das cuenta de que el movimiento hacia abajo de la pendiente hace que $y(q)$ de su valor máximo posible $q/\sqrt 2$ para todos los $q$. Desde esta recta también minimiza la longitud de la trayectoria a cualquier distancia vertical por debajo del punto de partida, podemos deducir un teorema:

Si la pelota se inicia en la pendiente en la velocidad de $u$ y puede estar limitada por las colisiones elásticas para tomar cualquier trayectoria sobre o arriba de la pendiente, de la la forma más rápida de llegar a cualquier distancia vertical por debajo de la de partida punto de deslizarse por la pendiente.

La escalera puede ser dibujado de modo que las esquinas interiores de la mentira en la pendiente. Si usted tiene que comenzar en una esquina interior, el teorema anterior muestra que usted no puede elegir a cualquier velocidad inicial de arranque y dirección, de forma que la bola va a llegar a una determinada distancia vertical por debajo del punto de partida más rápido de lo que lo haría si usted utiliza la misma velocidad inicial hacia abajo de la pendiente suave.

Si usted puede comenzar en otros lugares que el interior de las esquinas, un poco más de trabajo debe hacerse (comenzar con una definición exacta del problema). Pero aún así es claro que la pendiente es mejorar con el tiempo.

Una más, mucho más difícil, la pregunta es ¿cuánto más a la escalera. Como Ryan comentó, que se repite de refilón colisiones parece mejor, pero no estoy seguro de si tales trayectorias son físicos. Puede ser que no importa cuánto te esfuerces, finalmente, el balón le encuentro duro colisiones que hacer que rebote hacia arriba? Esto sería desastroso, ya que puede rebotar hasta casi la misma altura que comenzó a partir de.

AÑADIDO: En el de arriba me tratan de la pelota como un punto de masa. Si se trata de un disco de radio finito (pero aún sin fricción, de modo que el ángulo en que la inercia no es un problema), reemplazar lo que he llamado "la pendiente" por el más bajo de la línea de 45 grados que en el centro del disco puede tocar y "la trayectoria" por la ruta tomada por el centro del disco. Dibujar la escalera, para que el centro de la bola está en la línea cuando el balón está sentado en un paso tan lejos como sea posible. El análisis parece ser la misma.