La prueba de Nelson del teorema de Liouville

Question

El papel de "Una prueba de que el teorema de Liouville" por E. Nelson, publicado en 1961, en los Procedimientos de la AMS, contiene un solo párrafo, dando un (ahora) estándar de prueba de que cada delimitada armónico de la función en $\mathbb{R}^n$ es una constante.

Supongo que debe haber una historia detrás. En primer lugar, es difícil imaginar que esta prueba era desconocido antes de 1961. En segundo lugar, incluso si este es el caso, no se siente habitual, para el autor, para presentar ese papel y, para el editor, para aceptarlo.

Así que, ¿alguien puede contar esa historia? O, para hacer la pregunta precisa:

1) ¿hay algún anteriores referencias para esta prueba?

2) ¿cuál fue/fueron el estándar de prueba(s) antes de 1961?

3) por un razonamiento similar, se obtiene la $̣||\nabla h||_{\infty,\Omega}\leq C(\Omega,\Omega')||h||_{\infty, \Omega'}$ para $\Omega\subset\Omega'$. Fue ese argumento también desconocida hasta 1961?

Answer 1

Esto no responde a ninguna de las tres preguntas, pero las direcciones implícita la pregunta: "¿por Qué el editor de aceptarlo?"

En 1961, el Procedimiento de la AMS creado una sección llamada "Matemática Perlas", dedicada a, cito:

El objetivo de este departamento es la publicación de muy corto papeles de un inusualmente elegante y pulido de caracteres, por lo que normalmente no hay otra salida.

En la cuestión en la que Nelson de la prueba aparece, que la sección que comienza en la página 991 y continúa hasta el final, incluyendo 7 de documentos en todos, ninguno de los cuales supera los 2 páginas. En otro tema, usted puede encontrar este documento , que también contiene la citada renuncia.

Answer 2

Esto es para responder a la pregunta (2): ¿qué son los estándares de las pruebas antes de 1961?

Según Barry Simon (Análisis Armónico [volumen 3 de su "curso completo"], p197) el estándar de citas para "Liouville" teorema de pre 1961 se este papel de Maxime Bôcher de 1903, y este papel de Emile Picard de 1924.

Bôcher demuestra la del teorema de Liouville con una cara atado en una nota a pie de página el siguiente teorema:

La función de $u$ ser armónica al $r>R$, que se convierte ya sea de manera positiva o negativa infinito de diferentes maneras de ir hasta el infinito, o se acerca a uno y el mismo límite finito para cada método por el cual el punto P se aleja hasta el infinito.

Esto fue demostrado por primera Kelvin transformación (que Lord Kelvin demostrado en 1847 [Extraits de deux Lettres adressées à M. Liouville; esto está publicado en Liouville Diario, un.k.una. J. Math. Puro. Appl]), que hace que el problema de un aislado de la singularidad en el origen, y por el teorema Bôcher demostrado en las páginas anteriores, esto significa que la función tiene la forma $$ u=\frac{c}{r^{n-2}}+v, $$ donde $v$ es armónica en el origen. La del teorema de Liouville, a continuación, se sigue inmediatamente por la aplicación de la media del valor de la propiedad a un gran círculo.

Picard demuestra que un positivo armónico de la función $u$ a $\mathbb{R}^3$ es constante por Harnack las estimaciones de la $$ c_R u(0) \leq u(x) \leq C_R u(0), $$ donde $$ c_R=\min_{y\in\parcial B_R(0)}P_y(x),\quad C_R=\max_{y\in\parcial B_R(0)}P_y(x) $$ son expresiones explícitas que tienden a 1 $R$ va al infinito y $P_y(x)$ es el núcleo de Poisson en el disco $B_R(0)$. Las estimaciones seguir fácilmente a partir de la representación de $$u(x)=\frac{1}{4\pi R^2}\int_{y\in\partial B_R(0)} P_y(x)u(y)dy.$$ En la dimensión 3, que apareció por primera vez en Poincaré (1890); Harnack (1887) el caso bidimensional. De hecho, una de Nelson-tipo de argumento da igual límites con peor constantes, lo que podría ser una explicación de por qué fue descuidado.

Picard no da ninguna atribución para cualquiera de los resultados en su papel (ninguno de los cuales fueron en realidad la de él), diciendo simplemente: "estos son teoremas puedo probar en mi curso por un largo tiempo". Así, es razonable suponer que él sabía sobre el papel de Bôcher. Por otro lado, Bôcher de la prueba parece requerir un argumento adicional para hacerlo riguroso (Adrs del lema hace el trabajo, pero era desconocido hasta 1939), por lo que Picard papel podría ser, de hecho, la primera referencia para una completa y explícita de la prueba de la del teorema de Liouville.

La diferencia entre Picard y el "moderno" de la prueba no es enorme (desde la perspectiva moderna). Ambos están utilizando algún tipo de "valor medio" de propiedad de la armónica de funciones. Pero Nelson prueba utilizando la versión más simple de la media del valor de la propiedad al permitir que los dominios de la integración de diferentes conduce a una prueba que puede ser escrita sin símbolos; no creo que el mismo puede ser hecho fácilmente con Picard de la versión.

Answer 3

Esta prueba era nueva para mí cuando la leí :-) La prueba estándar, que enseño y que se da en la mayoría de los libros, usa la desigualdad de Harnack, que se deriva de la fórmula de Poisson para la pelota, o la fórmula de Poisson directamente. Si yo fuera el editor o un árbitro, aceptaría este documento.