Intuición detrás de la identidad del rizo

Question

¿Hay alguna intuición clara detrás de la identidad

$$ \nabla\times (\nabla\times A)=\nabla (\nabla \cdot A)-\nabla ^2A $$

Aunque el resultado es útil y no es difícil de derivar, no me parece muy obvio por qué debería ser así. ¿Cómo se podría explicar este resultado en términos intuitivos? ¿Qué significa realmente?

Gracias.

Answer 1

Se puede escribir la identidad en álgebra de Clifford como

$$\nabla^2 A = \nabla \wedge (\nabla \rfloor A) + \nabla \rfloor (\nabla \wedge A)$$

La cuña $\wedge$ tiene el significado general así: si actúa sobre dos vectores, forma un plano abarcado por los vectores (es "dual" al producto cruzado de esta manera).

La contracción $\rfloor$ es como un producto punto cuando es entre vectores, pero tiene el significado general de que, si actúa entre un vector y un plano, entonces el plano se "reduce" a un vector ortogonal al otro vector, pero todavía en el plano original.

Todo esto está muy bien, pero ¿por qué es cierta la identidad anterior, entonces? Bueno, en realidad, faltan algunos términos:

$$\nabla^2 A = \nabla \wedge (\nabla \rfloor A) + \nabla \rfloor (\nabla \wedge A) + \nabla \rfloor (\nabla \rfloor A) + \nabla \wedge (\nabla \wedge A)$$

Los dos últimos términos no aparecen en la identidad como es habitual. ¿Por qué? Pues porque el primero de ellos es idéntico a cero: $\nabla \rfloor A$ es la divergencia, por lo que $\nabla \rfloor (\nabla \rfloor A)$ es necesariamente cero; no se puede contraer un vector y un escalar de manera significativa, y esto es parte de la definición del producto. (Lo contrario es que puede toma un producto en cuña de un escalar y un vector, y es sólo una multiplicación escalar. No se puede contar dos veces esta operación y seguir teniendo sentido).

¿Y qué pasa con el otro término? $\nabla \wedge \nabla \wedge A$ ? Cae debido a la igualdad de las derivadas parciales mixtas. Escribe $(\nabla \wedge \nabla)$ en términos de una base:

$$\nabla \wedge \nabla = (e^x \wedge e^y) (\partial_x \partial_y - \partial_y \partial_x) + \ldots$$

Puedes ver que todos estos términos caen; el producto cuña es antisimétrico (como la cruz), así que todas estas derivadas parciales se agrupan de esta manera.

El resultado neto es que el laplaciano de un campo vectorial es también un campo vectorial, lo que en sí mismo es bastante útil, ya que hace que el laplaciano parezca "escalar" en su comportamiento.

Edición: ahora, ¿por qué la identidad tiene el aspecto que tiene en primer lugar? De nuevo, el álgebra de Clifford ayuda. Puedes tomar el "gradiente" de un campo vectorial, en realidad. En el álgebra de Clifford, se escribe simplemente

$$\nabla A = \nabla \rfloor A + \nabla \wedge A$$

Sí, esto es un escalar y... algo no del todo un vector, pero bastante cerca. Teniendo $\nabla$ trabajar en esto de nuevo produce la expansión de cuatro términos del Laplaciano que di antes, y todo lo que queda por demostrar es que dos de esos términos son cero.

Así que se trata de las mismas reglas básicas de distribución de la multiplicación sobre la suma con las que estás familiarizado desde la escuela primaria.