¿Por qué no adoptar el axioma de constructibilidad$V=L$?

Question

Gödelian incompletitud parece a la ruina a la idea de las matemáticas ofrece absoluta certeza y objetividad. Pero Gödel de la prueba da ejemplos de estados independientes que se comentó a menudo como teniendo un carácter que es demasiado metamathematical. Otros métodos, tales como la de Cohen forzar, son capaces de producir ejemplos de estados independientes de los que se ven más "ordinario". Sin embargo, el axioma $V=L$, cuando se añade a ZFC, se asienta que "casi todos" preguntas de matemáticas. Además, puede ser motivado por la filosofía constructivista. Aquí es Gödel (1938) en la presentación de su teorema sobre la consistencia relativa de CA y GCH con ZF:

Este modelo, a grandes rasgos, consiste de todos "matemáticamente edificable" conjuntos, donde el término "edificable" debe entenderse en el semiintuitionistic sentido de que excluye impredicative procedimientos. Esto significa "edificable" conjuntos se definen como aquellos conjuntos que pueden ser obtenidos por Russell ramificado jerarquía de tipos, si se extiende a incluir transfinito órdenes. La extensión de la transfinito órdenes tiene la consecuencia de que el modelo satisface la impredicative los axiomas de la teoría de conjuntos, porque un axioma de reducibilidad puede ser demostrado ser lo suficientemente alta para los pedidos. Además, la proposición "Cada conjunto es edificable" (que yo abreviar por "A") puede ser demostrado ser consistente con los axiomas de [ZF], porque resulta ser cierto para el modelo consta de la edificable conjuntos.... La proposición de Un añadido como un nuevo axioma parece dar una conclusión natural de los axiomas de la teoría de conjuntos, en la medida en que determina la vaga noción de un arbitrario conjunto infinito de una manera definitiva.

Tomamos nota de que Gödel rechazó este punto de vista filosófico. También observamos que la evolución posterior en la estructura de $L$, especialmente las debidas a Jensen, dio una riqueza de los poderosos de la combinatoria de los principios que se siguen de los axiomas $V=L$.

Pregunta: Dada la eficacia de los axiomas $V=L$ a resolver preguntas de matemáticas, y el hecho de que puede ser motivado por constructivista puntos de vista que son todavía hoy muy difundida, ¿por qué no ha habido históricamente un fuerte empuje para la adoptan como un axioma fundamental de las matemáticas?

Answer 1

Permítanme añadir a las respuestas existentes un punto que puede parecer "vulgar" al principio, pero creo que es realmente importante:

V=L es complicado.

Y si es o no debería ser una razón para no elevar a ZFC-esque de estado, creo que es, y ver más abajo - creo que es claro que es en la práctica va a ser un problema con cualquier intento de ese tipo (y V=L no está sola en esto ...).

Los axiomas de ZFC puede ser difícil de trabajar, pero en última instancia no es tan difícil de entender. De la unión, Powerset, Emparejamiento, y Extensionality son evidentes; la Separación es solo restringe la comprensión; el Reemplazo es "la recursión transfinita," que en realidad no es que alien; y la Elección tanto de "lo suficientemente evidente" formas y es lo suficientemente famosa que, en general, los matemáticos son al menos familiarizado con él en el resumen. Fundación supone un poco de un problema, pero no porque sea complicado, sino porque a menudo parece inútil; y eso está bien, ya que realmente no juega ningún papel esencial en la general de las matemáticas ya que se puede "aplicar" todo dentro de la hereditariamente bien fundada conjuntos.

V=L, por el contrario, es realmente complicado. El lema "sólo las cosas que usted puede construir existir" es más que suficiente, pero esconde una tonelada de sutileza y es fácil de usar incorrectamente: por ejemplo, se puede construir los conjuntos necesarios para la Banach-Tarski paradoja? (De hecho, he visto que a su juicio, por un tribunal competente no-set-teórico, que V=L previene de Banach-Tarski - en virtud de lo que implica que cada conjunto de los reales es Borel.)

Y aún hay cuestiones más profundas. Para una cosa, ni siquiera es claro que V=L es en realidad de primer orden se puede expresar! Del mismo modo, la manera en que se resuelve preguntas concretas en realidad requiere de algunos de manipulación directa de la lógica. Se tarda muy poco tiempo para conseguir una competencia básica con ZFC; se necesita algún esfuerzo serio para lograr el mismo para V=L.

Esta vientos empujaban contra "común legibilidad" - la idea de que los matemáticos deben ser capaces de leer un artículo en su propio campo sin tener que ser competente en un campo no relacionado. Por supuesto, incluso ignorando la lógica de esta falla con frecuencia, pero dando V=L el mismo estatus que los axiomas de ZFC esencialmente aprueba su bastante global de fracaso.

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En un poco más de detalle:

Al final del día esto se va a una pregunta acerca de cuál es el propósito de los fundamentos de las matemáticas. Tome una "profano" enfoque: el punto es facilitar las matemáticas. La adición de los axiomas con el fin de resolver las preguntas es, fundamentalmente, un tramposo, especialmente cuando los candidatos son los axiomas fundamentalmente técnico.

Creo que para ser un buen candidato axioma es un principio debe ser motivado por la no-fundacional ideas; y esto requiere más que sólo demuestra su poder fuera de la lógica.

Por supuesto, se puede argumentar acerca de la medida en que el original axiomas de ZFC satisfacer este punto, y en mi opinión sería muy deshonesto pretender que ZFC es el "a priori" correcto fundacional de la teoría de lugar que históricamente contingente, pero en adelante creo que el de arriba es importante. Veo que no hay forma en que V=L cumple con este criterio.

Tenga en cuenta que este criterio también empuja contra (grande) grande cardenales, obligando a los axiomas, etc. Y, de hecho, entiendo que el "profano" a la vista de las fundaciones a lo que yo creo es bastante impopular extremos:

Creo que incluso si vamos de lleno Platónico, e incluso si estamos plenamente convencidos después de una profunda labor técnica de que un determinado principio es cierto en el universo de los conjuntos, que no es suficiente añadir un axioma de ZFC.

(Yo no estoy diciendo esto coincide con la historia real de ZFC, por el camino!)

Answer 2

Permítanme adoptar un poco de perspectiva innovadora, y un poco exagerar en aras de la claridad:

El histórico de la ventana para la adopción de nuevas "axiomas fundacionales" se ha cerrado. V = L, y cualquier otro axioma se podría proponer el día de hoy, ha perdido el barco. De que sea demasiado tarde.

Yo diría que la última vez que un axioma ganado "fundacional de estado" fue cuando el axioma de elección realizado el corte, y que era de cerca de un centenar de años atrás. La actitud general de hoy, a mi juicio, es pluralista. Si usted está interesado en un axioma, entonces por todos los medios seguir adelante e investigar sus consecuencias. Pero puesto que nosotros hoy entendemos que la situación de los axiomas tales como V = L nunca va a ser resuelto en la forma en que los matemáticos están acostumbrados a "instalarse" problemas abiertos en matemáticas, y puesto que hay una gran cantidad de axiomas para elegir, la tendencia es vivir y dejar vivir.

Este estado de asuntos se ve reforzado por el hecho de que el conjunto de la teoría de los axiomas tales como V = L no son (o al menos parece que no se) visiblemente relevantes para el tipo de preguntas que la mayoría de los matemáticos están interesados en. Por lo tanto hay menos motivación para que la gente tome una postura partidista en este tipo de preguntas, a menos que ellos han "bebido de la fundación Kool-Aid" y comenzar a cuidar mucho acerca de los porqués. Entre el Kool-Aid de los bebedores se puede tener un debate acerca de si V = L viola la "maximizar" el principio, o si, como Sela dice, parece ser un residente permanente que carecen de ciudadanía), pero va a ser considerado como un espectáculo de la matemática general de la comunidad, que por lo general ya no se ve el punto en tomar una postura fuerte en preguntas como esta.

Answer 3

Creo que esta cuestión merece un cuidadoso análisis conceptual, y me gustaría plantear dos cuestiones conceptuales que considero relevantes. El primer tema es acerca de la teoría de conjuntos sólo, sin hacer referencia al papel que juega en los fundamentos de las matemáticas. La segunda cuestión es sobre la relación entre la teoría de conjuntos y las matemáticas. En mi opinión, decir que $V=L$ es incompatible con otros axiomas sin más pensamientos no responde a la pregunta, para la que sólo empuja hacia adelante el problema: también se podría pedir una base conceptual para prefiriendo los otros axiomas. Ahora, el primer problema:

1. La teoría de conjuntos se supone que no debo ir tan en contra de su dirección original de investigación basada en conjunto ilimitado de formación. La adopción de $V=L$ representa una ruptura radical con el concepto original de la teoría de conjuntos se supone que se trata.

La dirección original de la teoría de conjuntos fue dado por la costumbre ingenuo conjunto de concepto, el cual es abierto en el sentido de que el conjunto correspondiente-la formación de la noción es ilimitado, el ingenuo operación de conjunto de se aplica la limitación a la pluralidad de objetos en particular, no importa qué. Ese carácter abierto está presente en el Cantor del famoso párrafo y el correspondiente indisciplinado encuentro por la que se establece lo que se puede obtener en la ingenua concepción conduce a la conocida paradójico conclusiones. Por ejemplo, basado en el conjunto ilimitado de formación se puede decir que un universo de conjuntos puede ser visto sólo como un conjunto en otro universo, que cada vez que una pluralidad de conjuntos se considera, no podrían ser nuevos conjuntos de fuera, como nada en el abierto establecer concepto impide la aplicación de la formación a la que la pluralidad en sí.

Después del descubrimiento de las ahora conocidas paradojas en el ámbito del conjunto ilimitado de la formación, los iterativo set-formación ha asumido la posición de los preferidos de base conceptual para la teoría de conjuntos. El proceso iterativo de dirección conceptual de la teoría de conjuntos es una convenientemente organizada en etapas conjunto de la formación de la noción en la que el componente de la producción es dominante y el nivel de la organización se reduce a un mínimo, sólo lo suficiente para evitar las conocidas paradojas derivadas de conjunto ilimitado de formación. Iterativo conjunto-la formación es desequilibrada, pero todavía puntos en el aceptable dirección en la que la producción es dominante. Por otro lado, el componente de la organización de la edificable variación de la iterativa conjunto-la formación es dominante con respecto a su componente de la producción, que es responsable de su fuerza. La desequilibrada edificable conjunto-la formación es capaz de justificar la muy fuerte constructibility axioma, de decidir básicamente cada pregunta que se supone debe ser decidido. Sin embargo, a pesar de sus virtudes, este tipo de desequilibrio no es aceptable, principalmente debido a que la teoría de conjuntos no se supone que vaya en contra de su dirección original de investigación basada en conjunto ilimitado de formación.

2. $V=L$ refuerza la ya dominante aritmética/carácter combinatorio de la teoría de conjuntos sobre el geométrica/dinámicos componente del pensamiento matemático.

Pitágoras ver encarnada por $V=L$ y según la cual todo está completamente determinado por los ordinales no es muy fiel a la geométrica componente del pensamiento matemático (desde el descubrimiento de la incomensurability de la diagonal del cuadrado). De hecho, Jensen se opone al punto de vista newtoniano, según la cual el continuum no admite aritmética simple/combinatoria de reducción. Siempre tuvimos la aritmética pensaba en que las cosas deben ser contados y el pensamiento geométrico en el que las cosas deben ser medidos, no se cuentan. En la teoría de conjuntos, gracias a la (muy combinatoria-like) axioma de elección, todo lo que se supone debe ser contado y no todo parte de un continuo que puede ser medido. Tenemos el anti-geométricas de Banach-Tarski paradoja, una consecuencia de esta forma asimétrica combinatoria marco. Ya que hemos sido expuestos a la arithmetization de geométricas simples nociones tales como la de límite durante más de un siglo, la reducción de la aritmética, de la geometría fue parcialmente nacionalizado, pero no es muy natural. Es bastante engorroso, por ejemplo, la geometría de paquetes y conexiones en la teoría de conjuntos, como uno debe de seguir la pista de un montón de molestos identificaciones. $V=L$ enfatiza esta asimetría, esto es simplemente demasiado de la aritmética-friendly geométrico, y hostil. La asimetría está presente ya en el juego habitual de la teoría de todos modos, y tal vez topos teoría debe ser considerado más neutral con respecto a la aritmética y geométrica de los componentes de pensamiento matemático, pero eso es otra historia.

Answer 4

Aunque el axioma de constructibility a menudo es resistido por el conjunto de los teóricos de la opinión de que es restrictiva, sin embargo, hay una variedad de maneras en las que el axioma es compatible con fuerza en la teoría de conjuntos, que yo encuesta y explico en mi artículo:

Hamkins, Joel David, Un multiverso perspectiva sobre el axioma de constructibility DOI:10.1142/9789814571043_0002, Chong, Chitat (ed.) et al., El infinito y la verdad. Basado en las conversaciones dado en el taller, Singapur, julio 25--29, 2011. Hackensack, NJ: World Scientific (ISBN 978-981-4571-03-6/hbk; 978-981-4571-05-0/ebook). Notas De La Conferencia De La Serie. Instituto para la Las Ciencias Matemáticas. La Universidad nacional de Singapur, 25, 25 a 45 (2014). ZBL1321.03061. Blog post.

Resumen. Sostengo que el comúnmente $V\neq L$ a través de maximizar posición que rechaza el axioma de constructibility $V=L$ sobre el de la base de que es restrictiva, implícitamente asume una postura en la el debate pluralista en la filosofía de la teoría de conjuntos, al suponer un absoluta de fondo del concepto de ordinal. El argumento parece pierde su fuerza, en contraste, en un alza extensible concepto de establecer, a la luz de los hechos muestra que los modelos de la teoría generalmente tienen extensiones a los modelos de $V=L$ dentro de más conjunto de la teoría de los universos.

Desde mi blog post:

Para apoyar el filosóficas principales tesis del artículo, yo encuesta serie de mathemtical resultados que revelan diversos sentidos en que el axioma de constructibility $V=L$ es compatible con la fuerza en la teoría de conjuntos, en particular si se tiene en cuenta la posibilidad de pasar de un universo de la teoría de conjuntos para mucho uno más grande. Entre ellos se encuentran los siguientes, que puedo demostrar o croquis en el artículo:

De la observación. El universo construible $L$ e $V$ está de acuerdo en la la consistencia de cualquier edificable teoría. Tienen modelos de la mismo edificable teorías.

Teorema. El universo construible $L$ e $V$ han transitiva modelos de exactamente la misma edificable teorías en el idioma de la teoría de conjuntos.

Corolario. (Levy-Shoenfield teorema de completitud) En particular, $L$ e $V$ satisfacer el mismo $\Sigma_1$ frases, con los parámetros de hereditariamente contables en $L$. De hecho, $L_{\omega_1^L}$ e $V$ cumplir las sentencias de este tipo.

Teorema. Cada contables transitiva es una contables transitiva situado en el bien fundado de parte de una $\omega$-modelo de V=L.

Teorema. Si hay arbitrariamente grande, $\lambda<\omega_1^L$ con $L_\lambda\models\text{ZFC}$, entonces cada contables transitiva set $M$ es una contables transitiva conjunto, dentro de una estructura $M^+$ que es un pointwise definibles por el modelo de ZFC + V=L y $M^+$es fundada en el contable ordinales como se desee.

Teorema. (Barwise) Cada contables modelo de ZF tiene un final de extensión a un modelo de ZFC + V=L.

Teorema. (Hamkins, ver aquí) Cada contables del modelo de la teoría de conjuntos $\langle M,{\in^M}\rangle$, incluyendo cada modelo transitivo, es isomorfo a un submodel de su propio universo construible $\langle L^M,{\en^M}\rangle$. In other words,  there is an embedding $j:M\a L^M$, que es elemental para el cuantificador libre de afirmaciones.

Otra forma de decir esto es que cada contables del modelo de la teoría de conjuntos es un submodel de un modelo isomorfo a $L^M$. Si vivimos dentro de $M$, luego por la adición de nuevos conjuntos y elementos, nuestro universo podría ser transformado en una copia de la edificable universo $L^M$.

Desde la introducción al artículo:

Permítanme resumir brevemente la posición que estoy defendiendo en este artículo, que he de describir más plenamente en la sección 4. En el ascendente extensible concepto de conjunto, sostiene que cualquier concepto de conjunto o conjunto teórico universo siempre puede ser extendida a una mucho mejor, con más juegos y grandes números ordinales. Quizá el universo, incluso se convierte en un mero contables establecidos en la ampliación del universo. La "clase de todos los los números ordinales," en este punto de vista, tiene sentido sólo en relación a un particular conjunto teórico el universo, que no hay ninguna expectativa de que estos extensiones de cohesionar o convergen. Este multiverso perspectiva resuena con o, incluso, de la siguiente manera a partir de un orden superior, la versión de la maximizar el principio, en el que maximizar no sólo que los conjuntos de existir, pero también el que establece la teoría de los universos existen. En concreto, se podría ser una limitante para un conjunto teórico universo tiene todos los los números ordinales, cuando podemos imaginar otro universo buscando como contables. Maximizar lo que nos lleva a esperar que cada conjunto teórico universo no sólo debe tener extensiones, pero muy rica, extensiones, satisfaciendo extremadamente fuerte teorías, con una gama completa de grandes cardenales. Mientras tanto, voy a defender la los resultados matemáticos de la sección 3 de conducir naturalmente a los otros conclusión de que cada conjunto teórico universo debe tener también extensiones de satisfacer $V=L$. En particular, incluso si tenemos muy fuerte gran cardenal axiomas en nuestra actual conjunto teórico universo $V$, hay un universo mucho mayor $V^+$ en el que el primero universo $V$ es una contables conjunto transitivo y el axioma de constructibility sostiene. Esta perspectiva, por tanto complaciente grandes cardenales y $V=L$ en el multiverso, parece disolver el motivo principal de la $V\neq L$ a través de maximizar el argumento. El idea de que $V=L$ está permanentemente incompatibles con grandes cardenales se evapora cuando podemos tener grandes cardenales y reattain $V=L$ en un dominio más grande. De esta manera, $V=L$ ya no parece restrictivo, y el alza extensible concepto de conjunto revela cómo los grandes cardenales muy fuertes y teorías, así como de $V=L$, puede ser generalizado a todos a medida que se sube en el multiverso.

La sección final del artículo incluye una defensa filosófica de el ascendente extensible concepto de conjunto, una visión por la cual el axioma de constructibility $V=L$ se convierte en una especie de nuevo fuera de nuevo el conjunto teórico cambiar, como los ordinales crecer.

Answer 5

Keith Devlin escribió un libro llamado El Axioma de Constructibility --- Una Guía para el Matemático , la cual expone sólo este punto de vista.

Mi impresión es que la mayoría de conjunto de trabajo de los teóricos de la relación $V = L$ como "aburrido", quizás precisamente por la razón mencionada en la pregunta, que parece resolver casi todos los ordinarios de preguntas de matemáticas. [Edit: esta declaración no es controvertido. Los problemas que surgen en las matemáticas, que son independientes de ZFC son ya raros. Yo no conozco a ningún ejemplos de problemas que legítimamente se levantó en las matemáticas que se sabe que son independientes de $V = L$.] Mientras que el gran cardenal axiomas tienen consecuencias, tales como la existencia de $0^\#$, que son de gran interés para establecer teóricos (aunque sólo periférica de interés fuera del campo). La existencia de $0^\#$ es de por sí bastante fuerte argumento en contra de la $V = L$ porque una vez que uno admite que $L$ existe uno es difícil negar $0^\#$.

En la dirección opuesta, cuando Chuck Akemann y me mostró que un contraejemplo para Naimark del problema puede ser construido con diamante, me dio algunas charlas para el público en general, que incluye una breve discusión de diamante y $V = L$. Después de varias de estas conversaciones de la gente me preguntaba por qué no las adoptan $V = L$ como un axioma. Así que una buena parte de la razón por la que no ha habido un fuerte movimiento para la adopción de $V = L$ es probablemente debido a que el ordinario matemáticos a quien sería su principal atractivo son apenas conscientes de ello.

Un comentario personal: en mi caso, pasé por una fase en la que pensé $V = L$ de hace un montón de sentido en el terreno filosófico. Es decir, no debe ser "no observables" conjuntos. La imagen que la mayoría de conjunto de los teóricos parecen tener, de un bien definido el universo de los conjuntos de "ahí fuera" en algún lugar, en el que todas las preguntas tienen respuestas definitivas, todavía me parece ingenuo, y, francamente, creo que tengo una mejor comprensión de lo que establece son de aquellos que se toman esto en serio el panorama. Objetos abstractos son sólo lingüísticas dispositivos y no tienen ningún contenido real. Pero cuando realmente pensé que a través de estos temas, me volví con algo mucho más fuerte que el $V = L$, es decir, que todos los conjuntos son construibles y todos los conjuntos son numerables.