¿Cuándo importa la elección del genérico?

Question

Es un poco curioso fenómeno de que, en obligar a los argumentos, por lo general no se preocupan por cualquier particular, las propiedades del filtro genérico que se utiliza (esto no es estrictamente cierto; hay casos en los que se fuerza por debajo de algún tipo de maestro condición, por ejemplo, pero básicamente, esto equivale a formular mi pregunta para el cono debajo de la condición). Esta posición podría posiblemente ser el preferido por los matemáticos que interpretar a hablar acerca de los filtros genéricos como "semántica de azúcar" puramente sintáctica de los argumentos sobre Boolean valores de verdad, pero si estamos preparados para hablar acerca de los medicamentos genéricos como objetos reales, me parece raro que no prestamos mucha atención a la estructura de los objetos que generan nuestras extensiones.

Pero quizá no siempre la atención sobre el particular genérico. Deje $M$ ser un modelo transitivo de la teoría de conjuntos. Llamar a una noción de forzar $\mathbb{P}\in M$ obligando agnóstico (sobre $M$) si para cualquier par de $M$-de los filtros genéricos $G,H\subseteq \mathbb{P}$ las dos extensiones $M[G]$ e $M[H]$ son elementarily equivalente.

Es evidente que existe una reformulación de forzar el agnosticismo: $\mathbb{P}$ está obligando agnóstico si el valor Booleano, con respecto a las del álgebra Booleana asociada a $\mathbb{P}$, de la sentencia (sin parámetros en el forzamiento de la lengua) es 0 o 1. Esto implica inmediatamente que cualquier casi homogénea obligando está obligando agnóstico; de hecho, cualquiera de las dos extensiones de forma casi homogénea obligando son elementarily equivalente en el idioma aumentada con constantes para los elementos del modelo de terreno.

Hay una caracterización de forzar agnóstico posets? Es esta una puramente estructural de la propiedad de la poset o no en el ambiente del modelo de la materia, es decir, un poset obligando agnóstico sobre algunos modelos, pero no respecto a los demás?

También me gustaría dar la bienvenida a cualquier ejemplos de forzar los argumentos donde algunos se necesita cuidado en la elección de los genéricos (además de asegurar una condición particular que se presenta en).

Answer 1

Permítanme dar un par de ejemplos para mostrar que, al menos, que está obligando a los agnóstico no es equivalente a ser débilmente homogénea.

En primer lugar, empezar en cualquier modelo de la teoría de conjuntos $V$, y, a continuación, añadir una Cohen real $c$. Trabajo en $V[c]$. Deje $\mathbb{P}=\mathbb{1}\oplus\text{Add}(\omega,1)$, el de la lotería de la suma de trivial forzar y obligar a añadir otra Cohen real. Este es el forzamiento con un antichain de dos elementos, por debajo de la primera, es trivial forzar, y a continuación el segundo, es el hecho de forzar a añadir una Cohen real. Este definitivamente no es débilmente homogénea, ya que la condición que optar por el trivial obligando a tener una manera fundamentalmente diferente cono inferior de las condiciones que optar por añadir el Cohen real. Pero mientras tanto, las extensiones de $V[c]$ por $\mathbb{P}$ son $V[c]$ sí o $V[c][d]$ donde $d$ es otro de los Cohen real, y todos estos modelos tienen la misma teoría como $V[c]$ sí, desde el paso de dos genérica $c*d$ puede ser considerado como una Cohen real, que conduce a la misma teoría de las $V[c]$.

Este ejemplo muestra que la cuestión de si una determinada poset está obligando agnóstico depende del modelo en el que se considera, ya que claramente $\mathbb{P}$ considera que la en $L$ es no forzar agnóstico, aunque es de $V[c]$, y esto responde a la pregunta en tu penúltimo párrafo.

Segundo, aquí es otro tipo de ejemplo. Considere un modelo con una torre de primaria subestructuras $V_{\kappa_0}\prec V_{\kappa_1}\prec V$, y deje $\mathbb{P}$ ser la obligando a que, o bien añade $\kappa_0$ muchos Cohen reales, o de lo contrario añade $\kappa_1$ muchos Cohen reales (o usted puede hacer algo más con los cardenales, tales como el colapso de ellas, siempre de forma individual, las cosas son débilmente homogéneo). El forzamiento de la $\mathbb{P}$ no está débilmente homogénea, ya que las diferentes condiciones de tratamiento de $\kappa_0$ e $\kappa_1$ de manera diferente, pero esto no es revelado en la teoría de que es forzado por esas condiciones, porque de nuestra suposición de que $V_{\kappa_0}\prec V_{\kappa_1}\prec V$.

Tercero, otro tipo de ejemplo puede surgir cuando uno realiza forzando a más de un incontable modelo de $M\subset M[G]$, de tal manera que no son más que la continuidad de muchos (en el meta-teoría) intermedio modelos de $M[G_\alpha]$. Por lo tanto, al menos dos de ellos tendrán la misma teoría, y así tendremos $M[G_\alpha]\subset M[G_\beta]$ siendo agnóstico, aunque la iteración podría ser bastante arbitrario. No necesariamente restringir el cono de condiciones obligando a esta teoría concreta, sin embargo, ya que quizás no de una sola condición determina toda la teoría (ver comentario abajo).

Por último, permítanme decir que hay una serie de argumentos donde uno debe elegir el genérico muy cuidadosamente.

• En la indestructibilidad argumentos usando la lotería de preparación, uno debe trabajar por debajo de una condición en la $j(\mathbb{P})$ obligando a que se opte por el derecho de forzar a la etapa de $\kappa$. Este es el análogo de la Fuente la función de golpear el derecho poset en la etapa de $\kappa$ en el Lavamanos preparación.

• Un mejor ejemplo, que cumple con la petición al final de tu post, surge en el caso de obligar a pointwise definibles modelos. En el corazón de este argumento es una construcción, debido a los Simpson, de la construcción de una muy específica filtro genérico que, además de ser genérico, asegura el pointwise definability de la propiedad. No hay una sola condición de que basta (y pointwise definability no es expresable propiedad de todos modos, así que no esperamos que todos los filtros a la propiedad).

• Otro ejemplo de que la naturaleza surge en la prueba de que cada contables modelo de $M$ tiene dos extensiones $M[c]$ e $M[d]$ mediante la adición de Cohen reales, tal que $M[c]$ e $M[d]$ no tienen en común forzar la prórroga. (Por lo tanto, el genérico multiverso de un determinado contables del modelo de la teoría de conjuntos no es dirigida hacia arriba.) Usted puede ver una cuenta de este argumento y generalizaciones en el Conjunto de la teoría de la geología, pero el argumento específico también ha surgido en MO aquí, aquí y aquí. La parte principal del argumento es muy cuidadosa construcción de estos los filtros genéricos.

Answer 2

Aquí es otro tipo de ejemplo, donde la elección del filtro genérico $g$ se utiliza para construir una extensión genérica $M[g]$ de un modelo transitivo $M$ es importante. Supongamos que tenemos un conjunto $x$ que queremos ser un elemento de la extensión genérica $M[g]$. Si $x$ ya no está en el modelo de terreno $M$, luego de una mutua de genericity argumento muestra que para cualquier condición de $p$ hay un montón de los filtros genéricos $g$ contiene $p$ con $x \notin M[g]$. Así que si queremos $x \in M[g]$, entonces debemos optar $g$ más cuidadosamente.

Por ejemplo, si $M$ es una contables ratón con un Woodin cardenal y $x$ es un número real, entonces por Woodin del "genericity iteración" teorema (o una variante debido a Neeman) no es una iteración $i: M \to M^*$ de % de $M$ e una $M^*$-filtro genérico $g$ tal que $x \in M^*[g]$. Este teorema se utiliza todo el tiempo en el interior del modelo de la teoría, y no hay ninguna forma de estado utilizando sólo el forzamiento de la lengua de $M$ o de $M^*$.