La conjetura de Ramanujan los estados que los coeficientes $\tau(n)$ en la identidad
$$q\prod_{m=1}^\infty(1-q^m)^{24}=\sum_{n=1}^\infty\tau(n)q^n$$
satisfacer la desigualdad $|\tau(n)|\leq d(n)n^{11/2}$ donde $d(n)$ es el número de divisores de $n$. Una respuesta positiva a la conjetura seguido (no trivial) de Deligne la prueba de la hipótesis de Riemann para las variedades más finito campos, conjeturó por Weil.
Uno puede interpretar el coeficiente de $\tau(n)$ combinatoria de la siguiente manera. Deje $(a_n)$ ser la secuencia de $1,1,1,\dots,1,2,2,2,\dots,2,3,3,3,\dots,3,4,\dots$, donde cada número se produce en 24 ocasiones. Deje $\rho(n)$ el número de maneras de escribir $n-1$ como una suma $x_1+\dots+x_r$ de % de $r$ términos de la secuencia para algunos incluso el número de $r$, y deje $\sigma(n)$ el número de maneras de escribir $n-1$ como una suma $x_1+\dots+x_s$ de % de $s$ términos de la secuencia de un número impar $s$. A continuación,$\tau(n)=\rho(n)-\sigma(n)$. Es fácil comprobar que ambos, $\rho(n)$ e $\sigma(n)$ crecer de forma muy rápida, al menos, a una tasa $\exp(c\sqrt{n})$ (y estoy casi seguro que ese es el orden correcto de magnitud, pero no lo he comprobado cuidadosamente de manera que no desea reclamar como un hecho). Así Deligne el resultado nos dice que hay una cantidad enorme de cancelación: el número de representaciones como una suma es casi exactamente la mitad del número total de representaciones.
Por supuesto, nos dice algo mucho más precisa que eso, y parece claro que la primaria métodos son poco probable que sea suficiente para este resultados más exactos. Pero ¿y si nos acaba de pedir una prueba de que $\tau(n)$ crece en la mayoría de los exponencialmente? Es fácil mostrar? Si es, entonces, una forma mucho más general, el resultado debe ser cierto. Por ejemplo, supongamos que tomamos una arbitraria no disminución de la secuencia $a=(a_1,a_2,a_3,\dots)$ de enteros positivos tal que $cr\leq a_r\leq Cr$ por cada $r$. Definir $\rho_a(n)$ a ser el número de maneras de escribir $n$ como una suma de un número par de términos de esta secuencia y $\sigma_a(n)$ como el número de maneras de escribir $n$ como una suma de un número impar de términos. Debe $\tau_a(n)=\rho_a(n)-\sigma_a(n)$ crecer en la mayoría de los exponencialmente? Si es así, entonces ¿qué se puede decir sobre el grado de este polinomio en términos de $c$ e $C$?
Tenga en cuenta que tenemos la identidad
$$\prod_{r=1}^\infty(1-q^{a_r})=\sum_n\tau_a(n)q^n\ .$$
(Una pequeña observación es que no tenemos bastante recuperar Ramanujan s $\tau$ función cuando la secuencia se lleva a cada entero positivo 24 veces, porque en esta combinatoria contexto, no se la motivación para tomar la inicial $q$ y el cambio de todo por 1.)
Sin embargo, en este problema más general, no podemos obtener una forma modular cuando se sustituye $q=e^{2\pi iz}$. Tan lejos como puedo ver, esta norma no es sólo Deligne los métodos de prueba, sino también métodos anteriores, tales como los de Rankin que dio más débil de los límites. Sin embargo, yo no sé que mi camino alrededor de esta literatura: es un resultado como el que se sugiere conocido? Es la verdadera?
Edit: Como Garth Payne señala, no es cierto si todas las $a_r$ son impares, desde entonces, la paridad del número de términos que usted necesita para recoger depende de la paridad de $n$. Así que por mi pregunta para hacer sentido tengo que añadir alguna condición adicional. Realmente no me importa lo que la condición es, pero una posibilidad es tomar el $C$ a ser menor que 1, pero para modificar la condición de crecimiento a $cn-u\leq a_n\leq Cn+u$ para algunos $c>0$, $C<1$ y $u$. O podríamos insistir en que cada una de las $a_r$ se produce en la secuencia de un número par de veces. Básicamente, cualquier condición que las normas de este tipo de ejemplo podría dejar una pregunta que me interesa.
Además edit: tal vez mejor que esas dos condiciones es justo suponer que la densidad de los términos de la secuencia que incluso está delimitado por debajo de todo el tiempo.
