Bolas cerradas vs cierre de bolas abiertas

Question

Trabajamos en un espacio métrico separable $(X,d)$. Con $\overline{B}(x,r)$ I denota la bola cerrada alrededor de $x$ radio $r$, y con $cl \ B(x,r)$ I denota el cierre de la apertura de la pelota. Claramente, siempre tenemos $cl \ B(x,r) \subseteq \overline{B}(x,r)$, y es fácil construir ejemplos donde la inclusión es estricta.

Pregunta: ¿Podemos tener esta forma local en todas partes, el significado no existe un espacio métrico separable $(X,d)$, un punto de $x \in X$ y un real $R$ tal que para todos los $r$ con $R > r > 0$ nos encontramos con que $cl \ B(x,r) \subsetneq \overline{B}(x,r)$ ?

Mi ingenuo intento de construir este por fuerza bruta viola el criterio de divisibilidad. Estoy tentado a creer que podemos tener la diferencia sólo para countably muchas radios, pero hasta el momento yo no era capaz de probar esto.

Restricciones en $(X,d)$ estaría dispuesto a aceptar (y que me gustaría disfrutar particularmente en un ejemplo positivo) son completitud y compacidad local.

Esta pregunta aquí es relativa, es preguntando acerca de los espacios donde se $cl \ B(x,r) = \overline{B}(x,r)$ mantiene siempre.

Answer 1

El siguiente teorema (o su corolario) implica una respuesta negativa a la pregunta original.

Teorema. Para cualquier punto de $x$ a de un espacio métrico $(X,d)$ el conjunto $R_x:=\{r>0:cl(B(x,r))\ne \bar B(x,r)\}$ tiene cardinalidad $|R_x|\le w(X)$ donde $w(X)$ representa el peso de la topología del espacio métrico $(X,d)$.

Prueba. Revisión de una base de $\mathcal W$ de la topología del espacio $X$ de cardinalidad $|\mathcal W|=w(X)$. Para cada $r\in R_x$ elegir un punto de $x_r\in\bar B(x,r)\setminus cl(B(x,r))$ y encontrar un básico vecindario $W_r\in\mathcal W$ de % de$x_r$, que es distinto, con el open de bola de $B(x,r)$. Suponiendo que $|R_x|>w(X)=|\mathcal W|$, podemos encontrar dos números reales $r<\rho$ en $R_x$ tal que $W_r=W_\rho$. A continuación, $x_r\in W_r=W_\rho$ e $x_r\in \bar B(x,r)\subset B(x,\rho)$. Por eso, $x_r\in W_\rho\cap B(x,\rho)=\emptyset$, que es un deseada contradicción muestra que $|R_x|\le w(X)$.

Corolario. Para cualquier punto de $x$ de un localmente compacto (más en general, a nivel local separables) espacio métrico $(X,d)$ existe $\varepsilon>0$ de manera tal que el conjunto $\{r\in(0,\varepsilon):cl(B(x,r))\ne\bar B(x,r)\}$ es en la mayoría de los contables.