¿Por qué es que números complejos es algebraicamente cerrado?

Question

Me parece curioso que los Números Complejos dar la suficiente flexibilidad como para ser algebraicamente cerrado, donde los reales, los números racionales no. Por los reales, es fácil ver que ellos no pueden ser utilizados para resolver ecuaciones como $x^2 + 1 =0$. Geométricamente, se puede observar el número de línea como ver que cualquier $x$ el cuadrado de los rendimientos de un número positivo que cuando se agrega a la que uno no puede ponerse a cero. En el caso complejo, sin embargo, estamos trabajando con el avión. En este caso exponentes de estiramiento y rotar cualquier $x$. Es fácil por tanto se ven en la circunstancia particular de que si $x=i$ que $x^2$ gira a $-1$ que cuando se agrega a uno se obtiene el resultado deseado (es decir,$0$). Así que debido a que los Números Complejos son algebraicamente cerrado, llego a la conclusión de que cualquier ecuación polinómica con coeficientes complejos de mi ser resuelto por la elección de uno o más $x$'s en el plano y la rotación de ellos y de estiramiento, de tal modo que se combinan utilizando estos coeficientes para producir la RHS.

Pregunta: ¿por Qué es que no necesitamos un espacio más grande que el avión para resolver Complejas ecuaciones polinómicas?

He tratado de encontrar una respuesta suficiente a través de Google, pero no fue capaz. También busqué M. SE y no podía encontrar una respuesta suficiente. Yo no soy un matemático, así que estoy en busca de una respuesta intuitiva, si es posible.

Gracias.

Answer 1

Por supuesto, hay muchas pruebas, y tal vez algunos otros post, la más atractiva de las pruebas, pero creo que usted está buscando una explicación intuitiva que de alguna manera hacen que el resultado parece menos sorprendente.

Uno de esos explicación, creo yo, es la simple observación de que los reales ya ir un largo camino hacia la algebraicamente cerrado---ellos son un verdadero campo cerrado---ya que cada impar de grado del polinomio sobre $\mathbb{R}$ tiene una raíz en $\mathbb{R}$. De esta manera se sigue inmediatamente del teorema del valor intermedio, ya que en la gran escala de todos los impares de grado del polinomio se mueve de $-\infty$ $\infty$o a la inversa, y por lo tanto debe cruzar el eje.

Answer 2

Aquí están 3 hechos que creo que proporcionar algún tipo de intuición :

• Para mostrar que $\mathbb{C}$ es algebraicamente cerrado, sólo tiene que mostrar que el real polinomios tienen una raíz en $\mathbb{C}$ : debido a la fórmula de Taylor, un complejo polinomio de tomar los números reales a los números reales se corresponde con la realidad. Ahora si $P \in \mathbb{C}[X]$ es un polinomio complejo, a continuación, $P\overline{P}$ es un polinomio real y tiene la misma raíz $P$.

• Todos los impares grado real de los polinomios tienen una raíz en $\mathbb{R}$ (debido a que son continuos y los límites en $-\infty$ $\infty$ tienen signos diferentes).

• Debido a la fórmula cuadrática, la resolución de grado 2 ecuaciones sólo se requiere tomar las raíces cuadradas, que es siempre posible en $\mathbb{C}$ a causa de la interpretación geométrica y debido a que las raíces cuadradas de los números positivos que existen en $\mathbb{R}$ (si se escribe $z = \rho e^{i \theta}$, luego la raíz cuadrada de $z$ está dado por $\sqrt{\rho} \ e^{i \theta /2}$).

A partir de estos 3 hechos (aviso de que el uso de algunos de los análisis) y algunas astutas manipulaciones algebraicas (que se puede encontrar en Wikipedia en la sección "Algebraica de pruebas"), se puede deducir que el $\mathbb{C}$ es algebraicamente cerrado. Esta es en mi opinión el más cercano que puede llegar a una intuición.

Answer 3

Creo que tu pregunta puede ser reducido a la comprensión de por qué el teorema fundamental del álgebra es cierto. Como ya se ha señalado más arriba, existen muchas maneras diferentes para probar esto y usted debe tratar de entender algunos de ellos. Sin embargo, su pregunta no es realmente acerca de la mecánica de las diferentes pruebas, sino que se preguntan '¿por Qué son los números complejos suficiente..?'

Es una buena pregunta. La verdad es que cada una de las diferentes pruebas es dar un argumento de por qué son suficiente-desde una perspectiva ligeramente diferente. Dependiendo de su fondo puede encontrar uno más intuitivo que otra. Tengo dos sugerencias sobre cómo conseguir una mejor sensación para el FTOA:

• Tal vez lo que usted está buscando en una respuesta intuitiva es algo visual. Lo bueno aquí es que usted puede hacer la impresionante coloreada fotos que revelan la estructura del complejo de funciones con valores. Echa un vistazo a este documento no publicado por Daniel J. Velleman en Amherst: http://www.cs.amherst.edu/~djv/FTAp.pdf Es un gran paseo visual a través de un par de aproximaciones a la FTOA. Es realmente muy agradable de leer y de las parcelas a llevar a todos juntos en una manera que muchas personas sienten que es intuitivo. Si eres bueno con la codificación, a continuación, puede aprovechar algo como la SALVIA o mathematica para hacer algunas parcelas de su propia y entender el razonamiento de la FTOA con sus propios ejemplos demasiado!

• Si eso no bloqueo en, a continuación, tomar una puñalada en la lectura a través de Bellas y Rosenberger del libro: http://www.amazon.com/Fundamental-Theorem-Algebra-Undergraduate-Mathematics/dp/0387946578 Usted lo puede encontrar en la mayoría de las bibliotecas de la universidad con un fuerte departamento de matemáticas. Que voy a caminar a través de la FTOA desde tres perspectivas diferentes; álgebra, análisis complejo, y la topología. Es un enfoque más tal vez, pero sospecho que va a traer un montón de matemática cabos sueltos juntos para usted.

La mejor de las suertes y éxito en tus estudios! Usted ha hecho una gran pregunta y que es donde todo comienza.

Answer 4

Una definición de los números complejos es que es la clausura algebraica de los reales.

En otras palabras, comenzar con los reales y escribir algunas grado-$d$ polinomio que tiene menos de $d$ raíces (incl multiplicidades). Llame a una de estas raíces $x$. Ahora se extienden los reales con $x$. Después de seguir este (infinito) proceso, ha $\mathbb{C}$.

Si usted está dispuesto a comprar esta como la definición de $\mathbb{C}$, entonces es trivial ver que es algebraicamente cerrado.