¿Un ejemplo de prueba explicativa pero no bella? (o viceversa)

Question

Esta pregunta tiene una inclinación filosófica, pero espero que evoque respuestas directas y matemáticas que sean apropiadas para esta lista (como mi pregunta anterior sobre las bellas pruebas apropiadas para el nivel de secundaria).

El trasfondo es el siguiente: habitualmente distinguimos entre pruebas que explican y pruebas que demuestran. Esta distinción existe al menos desde la época de Aristóteles, pero es una cuestión abierta, por ejemplo en la filosofía contemporánea de las matemáticas, lo que significa realmente la explicación. Una sugerencia reciente ha sido que la explicación podría estar relacionada con la belleza. Parece razonable que las pruebas explicativas sean más bonitas que las no explicativas de alguna manera, pero ¿son necesariamente más bellas? Y del mismo modo, ¿es necesaria la belleza para la explicación? Parece que una buena manera de intentar responder a estas preguntas es ver un montón de buenos ejemplos. Y parece que una buena manera de obtener ejemplos es preguntar a los matemáticos, que es la razón por la que planteo la pregunta aquí.

Para aclarar: la pregunta no es en absoluto para discutir la naturaleza de la explicación o la belleza (si quieres discutir, te puedo dar mi dirección de correo electrónico y podemos charlar fuera de línea). El propósito es recoger algunos buenos ejemplos matemáticos que ayuden a entender la relación entre la belleza y la explicación en las matemáticas.

Ejemplos que serían relevantes: pruebas bellas que no son explicativas, pruebas explicativas que no son bellas.

Gracias de antemano.

Answer 1

Una prueba que mucha gente dice que le parece bonita, pero que en mi opinión no es nada explicativa, es la de Zagier prueba de una frase del teorema de la suma de dos cuadrados.

Answer 2

Yo diría que la prueba del teorema de la cuatricromía (en particular la prueba de "primera generación" de Appel y Haken) es explicativa (vemos que la fuente de la cuatricromía es la presencia de subconfiguraciones inevitables en cualquier grafo plano que son todas reducibles, en el sentido de que la cuatricromía de cualquier grafo plano que contenga una configuración de este tipo puede deducirse de la cuatricromía de un grafo más pequeño), pero no hermosa. (Véase, por ejemplo, el artículo de Notices en http://www.ams.org/notices/199807/thomas.pdf para una descripción de la estrategia de prueba).

Answer 3

1) "No hay ningún grupo simple de orden $n$ "(para varios valores compuestos de $n$ en el intervalo $[50,200] \setminus \{60,168\}$ más o menos). Estos argumentos son explicativos pero no bonitos. Parecen muy ad hoc y fútil en el sentido de que evidentemente hay muchos valores mayores de $n$ para los que no se logrará demostrar el resultado de la misma manera. Para mi gusto los cursos de álgebra de pregrado hacen demasiadas preguntas de este tipo: no es bonito y no es práctico, ya que por lo que sabemos todo ¡los órdenes de los grupos simples finitos!

2) La clasificación de los grupos simples finitos no es (parece; no soy experto) ni explicativa ni bonita. Resulta que la prueba de la primera generación no estaba ni siquiera a doscientas páginas de ser formalmente completa. Es una lista impresionante de negativas para lo que todo el mundo está de acuerdo en que es uno de los teoremas más importantes de todos los tiempos. Parece que el objetivo de la prueba de tercera generación es ser más explicativa.

3) La teoría de la $26$ grupos simples esporádicos es hermoso hasta un grado casi ridículo. Parece que hay mucho espacio para que sea más explicativo... lo cual es hermoso.

Answer 4

La prueba de Furstenburg del teorema de van der Waerden utilizando la compactación Stone-Cech de los números naturales me parece hermosa pero no tan explicativa.

Answer 5

Hay algunos teoremas en los que está claro que un cálculo sencillo pero tedioso puede establecerlos, y en los que también está bastante claro que hay pocas esperanzas de eliminar el cálculo. "Las damas son un empate" es un ejemplo bastante extremo. Poca gente diría que la prueba es bonita. Por otro lado, yo consideraría que la prueba es explicativa, porque ¿qué mejor explicación hay de que no hay estrategia ganadora que una receta explícita para contrarrestar cada intento de victoria? Negar que la prueba es explicativa sería, en mi opinión, implícitamente exigir más explicaciones , y me parece claro que no va a haber forma de conseguir una mejor explicación que dar la estrategia. (Algunas partes de la prueba podrían quizás hacerse más conceptuales, pero siempre va a haber un gran residuo computacional).

En resumen, a veces la mejor explicación de un hecho es simplemente que así resulta cierto cálculo tedioso.