Dado un número finito de dimensiones semisimple complejo Mentira álgebra $\mathfrak{g}$, la de Bernstein-Gelfand-Gelfand categoría $\mathcal O$ es el total de la subcategoría de $\mathfrak g$-módulos de satisfacer algunas condiciones de finitud. Contiene todo finito-dimensional de los módulos, así como todos los de mayor peso de los módulos, es Noetherian y Artinian, y es Abelian. Para mí está claro por qué se quiere trabajar en algunos subcategoría de $\mathfrak g$-módulos que tiene las propiedades anteriormente mencionadas, pero, ¿por qué $\mathcal O$? Es mínima, en cierto sentido, con respecto a estas propiedades y/o algunas otras propiedades importantes?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Me gustaría añadir a lo que Ben dice que la observación de que las personas han encontrado un número de módulo diferentes categorías valiosa para diferentes propósitos dentro de esta misma Mentira álgebra contexto. (Y algunas se encuentran la teoría de que la gente no encontrar categoría $\mathcal{O}$ a ser tan importante en su propio trabajo.) Incluso dos personas cerca de la original de la construcción, José Bernstein y Sergei Gelfand, encontrado que es más útil para ampliar el estudio a las categorías de satisfacciones algo diferente finitud condiciones en su trabajo sobre proyectiva functors.
Gran parte de la motivación original para la categoría " $\mathcal{O}$ provenía de un replanteamiento de la clásica finito dimensionales teoría combinado con un intento de entender mejor los problemas planteados por Verma tesis y trabajos posteriores por Jantzen. Aquí es donde la traducción functors realmente entra en su cuenta, junto con el refinado uso de los personajes centrales y los bloques. Pero la "correcta" la categoría de módulo de estudio depende de cuáles son los problemas que están siendo estudiados. La categoría de todos los módulos de un universal que envuelve el álgebra es sin duda demasiado grandes para fines prácticos, pero dentro de ella hay muchos atractivos subcategorías.
P. S. Como estas respuestas ilustrar, puede haber varias respuestas a los "por qué" pregunta. Las respuestas, sin duda, han evolucionado a lo largo del tiempo, como se ilustra en parte por la serie de PDE y BG papeles. Por ejemplo, el PDE categoría resulta ser la correcta para PDE Reciprocidad, debido a la especial naturaleza proyectiva de los objetos en esta categoría relativa a Verma módulos. (Por otro lado, el prototipo de PDE la Reciprocidad en la característica principal solo finito dimensionales de los módulos y por lo tanto se requiere que la categoría natural de tales módulos para el finito dimensionales restringido envolvente de álgebra de la Mentira algebra de un semisimple algebraica de grupo).
Chad Cooper
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En realidad no es el mínimo de la categoría con esas propiedades. Por ejemplo, la subcategoría de la categoría O donde el centro de la $U(\mathfrak{g})$ actos semi-simplemente es más pequeño y cumple con todos los. Se convierte esencialmente mínimo (creo que también quieren imponer cerrado bajo de pasar a áfrica o el cociente de los objetos) si usted también requieren que la subcategoría de ser cerrado bajo tensoring con finito de representaciones tridimensionales. Tal functors y sus sumandos (traducción functors) son ubicuos en el estudio de la categoría O, y creo que puede ser acreditado con muchos de sus buenas propiedades.
Kevin Ballard
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Valdría la pena señalar una motivación diferente para la Categoría O, a saber, la teoría de Harish Chandra (g,K) módulos. Estos son algebraicas modelos para las continuas representaciones de la real reductora grupos (las formas reales de g). Harish Chandra de la teoría increíble reduce muchas preguntas en la teoría de la representación real de los grupos a esta teoría algebraica, que puede ser estudiado de manera geométrica, por ejemplo por Beilinson-Bernstein localización.
En cualquier caso, la Categoría O es esencialmente la categoría de Harish Chandra módulos asociados a los complejos reductiva del grupo G, cuando se la considera como una verdadera Mentira de grupo. Hay pequeñas sutilezas en qué tipo de semisimplicity/local finitud etc se requiere para el centro de la envolvente de álgebra o la máxima toro, pero en líneas generales los dos coinciden, y la categoría O es por lo tanto un buen combinatoria modelo de acceso de un objeto básico en teoría de la representación de la Mentira $groups$.
