¿Por qué el medio toro es rígido?

Question

La superficie de medio toro que resulta de cortar un toro como un bagel, representada abajo (izquierda), es isométricamente rígida.
     
Lo sé por un comentario de Alexandrov en Matemáticas: Su contenido, métodos y significado (Capítulo 7. Curvas y superficies, p.101):

Por ejemplo, se ha demostrado que una superficie de la forma de una cubeta circular (...), no admite deformaciones continuas (esto explica, entre otras cosas, el conocido hecho de que un cubo con un borde curvo es considerablemente más fuerte que uno con un borde liso) ...

No da ninguna pista de una prueba, ni una referencia. ¿Podría alguien aportar alguna de ellas? Me gustaría entender esto lo suficiente como para generalizarlo, por ejemplo, al cuarto inferior de un toroide (arriba, a la derecha), o a secciones transversales o a curvas de barrido que no sean círculos (elipses, curvas suaves convexas, ...). ¿Se conocen condiciones generales para una superficie en $\mathbb{R}^3$ con límite sea isométricamente rígido, es decir, que no admita ninguna deformación continua que "conserve la longitud de todas las curvas de la superficie" (citando la definición de Alexandrov)?

Answer 1

Tengo una carta de Idjad Sabitov que responde completamente a la pregunta. He aquí un breve extracto de la misma:

1. medio toro tiene rigidez de segundo orden (teorema de Rembs, ver . Rembs. Curvas de orden superior y valles de superficie plana. Revista de matemáticas 36 (1932) o , , 1948, .3, .2, . 135 )

2. Cualquier superficie rígida de segundo orden no admite deformación analítica (es decir, la deformación $h_t(u,v)$ que es analítico en $t$ ).

3. Para las superficies de revolución, se puede eliminar el supuesto de analiticidad.

---

A continuación, la mejor parte de mi post original. Contiene una idea que no fue utilizada por Rembs.

---

Dejemos que $h(u,v)$ sea una pequeña perturbación de la incrustación estándar; $u\in (-\varepsilon,\varepsilon)$ y $v\in\mathbb S^1$ .

Considere el casco convexo $K$ de $\mathop{\rm Im}h$ y mira la curva cerrada $\gamma_0$ que está formado por el límite de $\partial K\cap \mathop{\rm Im}h$ . Afirmo que $\gamma_0=h(0,{*})$ es decir, la curvatura de Gauss en los puntos de $\gamma_0$ tiene que ser $0$ . De hecho, desde $\gamma_0$ se encuentra en la parte convexa, la curvatura de Gauss en los puntos de $\gamma_0$ tiene que ser no negativo. Por otra parte $\gamma_0$ limita un disco plano en $\partial K$ ; por lo que su curvatura intrínseca integral (en $\partial K$ y en el toroide) tiene que ser $2{\cdot}\pi$ . Si la curvatura de Gauss es positiva en algún punto de $\gamma_0$ entonces la curvatura intrínseca total de $\gamma_0$ tiene que ser $<2{\cdot}\pi$ una contradicción.

Nótese que si la dirección asintótica va transversalmente a $\gamma_0$ en $\gamma_0(v)$ entonces $\gamma_v$ no puede acostarse en el $\partial K$ . Es decir, $\gamma_0=h(0,{*})$ es una curva asintótica.

WLOG podemos suponer que la longitud de $\gamma_0=h(0,{*})$ es $2{\cdot}\pi$ y su curvatura intrínseca es $\equiv 1$ . En el espacio $\gamma_0$ tiene que ser una curva con curvatura constante $1$ y debe ser cerrada --- la única curva de este tipo es un círculo plano.

Answer 2

Para cualquier parche de superficie con la primera forma fundamental $$g(u,v) = \left[\begin{array}{cc} (c+a\cos{v})^2 & 0\\\\ 0 & a^2\end{array}\right]$$ Las ecuaciones de Gauss y Codazzi son

$$ \begin{align} ac\cos(v)+a^2\cos^2(v)-h_{11}h_{22}+h_{12}^2&=0\\\\ h_{11,v} - h_{12,u} + \frac{a\sin(v)}{c+a\cos{v}}h_{11}+\frac{\sin(v)(c+a\cos(v))}{a}h_{22}&=0\\\\ h_{22,u} - h_{12,v} + \frac{a\sin(v)}{c+a\cos{v}}h_{12}&=0 \end{align} $$ Si podemos demostrar que la solución para las funciones $h_{ij}$ es el mismo que el del parche del toro $(c+a\cos(v))\cos(u), (c+a\cos(v))\sin(u), a\sin(v))$ , entonces hemos terminado por la parte de unicidad del Teorema Fundamental de las Superficies (parches con el mismo $g$ y $h$ difieren sólo por un movimiento rígido).

Observación: Si hacemos una suposición demasiado fuerte de que $h$ es diagonal entonces esto da el resultado, pero si no, como comenta Deane, no está inmediatamente claro cómo/si podemos demostrar la unicidad de la $h_{ij}$ en el caso general.

Actualización: Considere una isometría local particular de un parche en el toro que es lo suficientemente pequeño como para no crear ningún punto umbilical. Podemos reparametrizar en la vecindad de cualquier punto no umbilical a un parche principal donde ambos $g$ y $h$ son diagonales. La primera forma fundamental para el parche isométrico reparametrizado tendrá la forma

$$g(u,v) = \left[\begin{array}{cc} \lambda(u,v)^2(c+a\cos{v})^2 & 0\\\\ 0 & \mu(u,v)^2a^2\end{array}\right]$$

para los conocidos $\lambda,\mu$ y entonces las ecuaciones de Codazzi son ahora un sistema lineal para $h_{11},h_{22}$ : $$h_{11,v} = \frac12\partial_v(\lambda^2(c+a\cos{v})^2)(\frac{h_{11}}{\lambda^2(c+a\cos{v})^2} + \frac{h_{22}}{\mu^2a^2})$$

$$h_{22,u} = \frac12\partial_u(\mu^2a^2)(\frac{h_{11}}{\lambda^2(c+a\cos{v})^2} + \frac{h_{22}}{\mu^2a^2})$$

y la ecuación de Gauss es $$h_{11}h_{22} = \lambda^2\mu^2a\cos(v)(c+a\cos(v)).$$