Aplicaciones elementales de Krein-Milman

Question

Este es un post cruzado de MSE: Aplicaciones elementales de Krein-Milman . Empiezo a sospechar que la pregunta no tiene una gran respuesta, vale la pena intentarlo.

Recordemos que el teorema de Krein-Milman afirma que un conjunto convexo compacto en un LCTVS es el casco convexo cerrado de sus puntos extremos. Esto tiene muchas aplicaciones en áreas de las matemáticas que utilizan el análisis: la existencia de estados puros en la teoría del álgebra C*, la existencia de representaciones irreducibles de grupos, la existencia de medidas ergódicas...

Me interesan las aplicaciones del teorema que son muy fáciles de enunciar pero difíciles de conseguir de otra manera. Cuando digo "muy fácil de enunciar" me refiero a que el resultado debe ser expresable en el lenguaje de la teoría elemental de los espacios de Banach o de los espacios de Hilbert, sin álgebras C*, teoría de la representación o medidas. Como ejemplo de lo que tengo en mente, el teorema de Krein-Milman implica que C[0,1] no es el dual de ningún espacio de Banach. Si alguien conoce una aplicación de Krein-Milman a la teoría de las series de Fourier, sería ideal.

Answer 1

El teorema de Krein-Milman puede utilizarse para demostrar lo siguiente: supongamos que asociamos a cada punto de la red de enteros en el plano un número real en $[0, 1]$ , de manera que el número correspondiente a cada punto es la media de los números correspondientes a los cuatro puntos más cercanos de la red. Entonces todos los números deben ser necesariamente iguales.

Aunque el problema relacionado para un número finito de puntos es trivial de demostrar mirando el número más pequeño, este truco falla en la versión infinita ya que podría no haber un número más pequeño en absoluto. Pero se puede considerar la bola unitaria del espacio $L^{\infty}(\mathbf{Z} \times \mathbf{Z})$ y los operadores de desplazamiento que actúan sobre el espacio desplazándose hacia la derecha o hacia arriba. La condición del problema puede entonces enunciarse como una igualdad que involucra a estos operadores y a sus inversos, y no es difícil ver que el conjunto de funciones en el espacio que satisface esa condición es débil*mente compacto (utilizando el teorema de Alaoglu) y convexo. También es fácil ver que los puntos extremos son necesariamente funciones constantes, y deducir de Krein-Milman el caso general.

Esta misma idea se puede utilizar para demostrar el teorema de Liouville para funciones armónicas en el plano, del que el problema anterior era una especie de versión discreta.

Answer 2

Usted mencionó que estaba interesado en resultados como "el teorema de Krein-Milman implica que $C[0,1]$ no es el dual de ningún espacio de Banach". Los siguientes resultados están estrechamente relacionados, así que espero que no sean aburridos:

1. Si $\Omega\subseteq \mathbb{R}^d$ entonces $L^1(\Omega)$ no es el dual de ningún espacio normado ya que la bola unitaria cerrada de $L^1(\Omega)$ es convexo sin puntos extremos. Estoy seguro de que estáis familiarizados con el argumento habitual, pero para los lectores interesados que no lo estén: Si $L^1(\Omega)$ fuera el dual de un espacio normado, entonces el Teorema de Alagolu muestra que la bola unitaria cerrada de $L^1(\Omega)$ es wk*-compacto. Pero entonces por Krein-Milman, ya que la bola unitaria cerrada de $L^1(\Omega)$ es convexo y (wk*-)compacto, admite un punto extremo. Pero, como la bola unitaria cerrada de $L^1(\Omega)$ no admite ningún punto extremo, debe ser el caso que $L^1(\Omega)$ no es el dual de algún espacio normado.

2. Del mismo modo, se deduce que $C_0(\mathbb{R}^d)$ la familia de funciones continuas de valor real que desaparecen en el infinito, no es el dual de ningún espacio normado. La bola unitaria cerrada de $C_0(\mathbb{R}^d)$ es convexo sin puntos extremos. La prueba de esto es bastante sencilla (sólo hay que añadir pequeñas protuberancias cuando $f$ es lo suficientemente pequeño).

(Edición: Si $\Omega\subseteq \mathbb{R}^d$ es Abrir dotado de Medida de Lebesgue entonces la bola unitaria cerrada de $L^1(\Omega)$ es convexo sin puntos extremos)

Answer 3

Se puede demostrar utilizando repetidamente el teorema de Krein-Milman que

• Si $T : C[0,1] \rightarrow X$ es un operador de norma a lo sumo una con $T$ isométrico en el $2$ -subespacio dimensional abarcado por $x \mapsto \cos(\pi x) $ y $x \mapsto \sin(\pi x)$ entonces $T$ es una isometría.
• Si $T$ es un endomorfismo de $C[0,1]$ de norma a lo sumo una que fija las funciones $x \mapsto \cos(\pi x) $ y $x \mapsto \sin(\pi x)$ entonces $T$ es el operador de identidad.

Answer 4

El Teorema de Krein-Milman se utiliza en la demostración del Teorema de Birkhoff de que el conjunto de matrices bistocásticas es la envolvente convexa de las matrices de permutación.