Hace mucho tiempo hubo una pregunta si un polinomio bijection $\mathbb Q^2\to\mathbb Q$ existe. Sólo un intento de de la contestación que se le ha dado, muy votada abajo por el camino. Pero esta respuesta no es, obviamente, sin éxito, porque el siguiente problema (para el caso de $n=2$) permanece abierta.
Problema. Deje $f$ ser un polinomio racional (o incluso entero!) los coeficientes de en $n$ variables $x_1,\dots,x_n$. Supongamos que existen dos puntos distintos $\boldsymbol a=(a_1,\dots,a_n)$ e $\boldsymbol b=(b_1,\dots,b_n)$ de $\mathbb R^n$ tal que $f(\boldsymbol a)=f(\boldsymbol b)$. ¿Esto implica la existencia de dos puntos de $\boldsymbol a'$ e $\boldsymbol b'$ de $\mathbb Q^n$ satisfactorio $f(\boldsymbol a')=f(\boldsymbol b')$?
Incluso en el caso de $n=1$ parece no ser evidente.
EDIT. Sólo porque tenemos un muy buen contador de ejemplo (inmediatamente altamente valorado por el MO de la comunidad) por Hailong Dao en el caso de $n=1$ y porque para $n>1$ siempre hay puntos de $\boldsymbol a,\boldsymbol b\in\mathbb R^n$ con lo anterior, la propiedad, el problema puede ser "simplificado" de la siguiente manera.
Es cierto para un polinomio $f\in\mathbb Q[\boldsymbol x]$ en $n>1$ variables que existen dos puntos de $\boldsymbol a,\boldsymbol b\in\mathbb Q^n$ tal que $f(\boldsymbol a)=f(\boldsymbol b)$?
La existencia de inyectiva polinomios $\mathbb Q^2\to\mathbb Q$ se discute en B. Poonen del preprint (y en los comentarios a esta pregunta). ¿Qué se puede decir de $n>2$?
EDITAR MÁS. La respuesta al problema está en negativo. En otras palabras, existen inyectiva polinomios $\mathbb Q^n\to\mathbb Q$ cualquier $n$.
Gracias a los comentarios de Harry Altmany Se Jagy, caso de $n>1$ ahora es totalmente reducido a $n=2$. Es decir, cualquier inyectiva polinomio $F(x_1,x_2)$ da lugar a la inyectiva polinomio $F(F(x_1,x_2),x_3)$, y así sucesivamente; en la otra dirección, cualquier $F(x_1,\dots,x_n)$ más de 2 variables pueden ser especializado para $F(x_1,x_2,0,\dots,0)$.
A pesar de Bjorn Poonen del veredicto ese caso $n=2$ puede ser resuelto por una apelación a el Bombieri--Lang conjetura para $k$-puntos racionales en las superficies de tipo general (o incluso a las 4 de la variable de la versión de la $abc$ conjetura), yo me quedo con una esperanza que esto se puede hacer por los medios más simples. Mi vago intento (para que me de búsqueda en la literatura) es empezar con una forma homogénea $F(x,y)=ax^n+by^n$, o de cualquier otra forma homogénea de impar grado $n$, lo que ha la propiedad de que sólo un número finito de los números enteros se representan por $F(x,y)$ con $x,y\in\mathbb Z$ relativamente primos. Para evitar este conjunto finito de "desagradable" pares de $x,y$, se puede sustituir por otros homogénea formas $x=AX^m+BY^m$ y $y=CX^m+DY^m$ (de nuevo, para $m$ impar y lo suficientemente grande, por ejemplo), de modo que $x$ e $y$ escapar de los malos valores. A continuación, la nueva forma homogénea $G(X,Y)=F(AX^m+BY^m,CX^m+DY^m)$ le dará el polinomio deseado de la inyección. Así, se puede sugerir una forma homogénea $F(x,y)$ con la anterior propiedad?
