Difícil triángulo área problema

Question

Se trataba de un reciente concurso de matemáticas que estaba en la. Así, un triángulo tiene lados $2$, $5$ y $\sqrt{33}$. ¿Cómo puedo obtener el área? No puedo usar una calculadora y (forma de) fórmula de Herón (que había memorizado) es imposible con el $\sqrt{33}$ en él. ¿Cómo pude haber hecho esto? La respuesta era $2\sqrt{6}$ si ayuda.

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Editado para añadir que es una pregunta de opción múltiple, con respuestas posibles:

a. $2\sqrt{6}$
b. $5$
c. $3\sqrt{6}$
d. $5\sqrt{6}$

Answer 1

De la ley de los cosenos ($C^2 = A^2 + B^2 - 2AB\cos \theta$), se obtiene que $(\sqrt{33})^2 = 2^2 + 5^2 - 2 \cdot 2 \cdot 5 \cos \theta$.

Simplificando esto, conseguimos $33 = 29 - 20 \cos \theta$, que significa que el $\displaystyle \cos \theta = -\frac{1}{5}$

Porque conseguir que $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ $\displaystyle \sin^2 \theta = \frac{24}{25}$. Esto significa que el $\displaystyle \sin \theta = \frac{2\sqrt{6}}{5}$ (tenga en cuenta que, debido a $0 \le \theta \le \pi$, $\sin \theta \ge 0$).

El área del triángulo es $\displaystyle \frac{1}{2} A B \sin \theta = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 5 \cdot \frac{2\sqrt{6}}{5} = 2\sqrt{6}$.

Answer 2

Utiliza el buscador de $\frac{1}{4}\sqrt{4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2}$ de la fórmula de garzas.

$$\begin{align} & \frac{1}{4}\sqrt{4\cdot4\cdot25-(4+25-33)^2} \\ = & \frac{1}{4}\sqrt{4^2\cdot25-4^2} \\ = & \sqrt{25-1} \\ = & 2\sqrt{6} \end {Alinee el} $$

Answer 3

Podría ha utilizado la fórmula de Herón, realmente.

$$\begin{align} T & = \tfrac{1}{4} \sqrt{(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)(a+b+c)} \\ & = \tfrac{1}{4} \sqrt{(2+5-\sqrt{33})(2-5+\sqrt{33})(-2+5+\sqrt{33})(2+5+\sqrt{33})} \\ & = \tfrac{1}{4} \sqrt{(7-\sqrt{33})(-3+\sqrt{33})(3+\sqrt{33})(7+\sqrt{33})} \\ & = \tfrac{1}{4} \sqrt{(7+\sqrt{33})(7-\sqrt{33})(\sqrt{33}+3)(\sqrt{33}-3)} \\ & = \tfrac{1}{4} \sqrt{(49-33)(33-9)} \\ & = \tfrac{1}{4} \sqrt{16 \cdot 24} \\ & = \tfrac{1}{4} \sqrt{64 \cdot 6} \\ & = \tfrac{8}{4} \sqrt{6} \\ & = 2 \sqrt{6} \end {Alinee el} $$

Answer 4

Ya que esta era de opción múltiple, creo que vale la pena señalar que usted podría haber adivinado la respuesta correcta sin hacer (mucho) de la aritmética: la diagonal de un triángulo rectángulo con lados de $2$ $5$ tiene una longitud de $\sqrt{2^2+5^2} = \sqrt{29}$; desde $\sqrt{33}$ está bastante cerca de este, la respuesta debe ser cerca de la zona de a $2-5-\sqrt{29}$ triángulo, que es, por supuesto,$\frac12(2)(5)=5$. Si usted se imagina cómo 'estirar' la $\sqrt{29}$ diagonal a $\sqrt{33}$, es claro que el derecho de ángulo tendrán que ser obtuso, y esto a su vez significa que el área de la $2-5-\sqrt{33}$ triángulo tiene que ser menos de $5$; de las respuestas proporcionadas, sólo $2\sqrt{6}\approx4.472$ es de menos de $5$ (y, por supuesto, muy cerca de él).

Answer 5

Que sea $ABC$ el triángulo. Considerar el % de altura $AH$sobre el lado mayor, aquella cuya longitud es $\sqrt{33}$. Ahora la palabra $x=BH$, que $\sqrt{33}-x=CH$. Aplicar el teorema de Pitágoras para obtener $$ \left\ {\begin{array}{rcl} x^2+h^2&=&4\\ \left(\sqrt{33}-x\right)^2+h^2&=&25 \end{matriz} \right.$$

Resolver $h$ y ya está (casi).