¿Cuál es la versión de geometría algebraica de las esferas?

Question

En la topología las esferas $S^n$ son los colectores cerrados "más simples", y son como el delta de Dirac en $n$ " para grupos de cohomología (reducidos). Además, son los límites de los colectores compactos más simples con límite, es decir, los discos $D^{n+1}$ que son contractables. Y $S^{n}$ se obtiene pegando dos copias de $D^{n}$ a lo largo de su frontera $S^{n-1}$ . Mi pregunta es:

¿Hay algunos objetos de naturaleza geométrica algebraica que de alguna manera reproducen el mismo patrón, o que son considerables como el equivalente de las esferas de la topología?

Más generalmente, ¿hay "esferas homológicas" para alguna teoría homológica como los grupos -digamos- Chow? ¿Qué hay de una "conjetura algebraica de Poincaré"?

Si existen, no espero que sean variedades o esquemas estándar, de lo contrario probablemente habrían hecho su aparición "clásica".

Answer 1

Para ampliar el comentario de Will Sawin de una manera vaga (que es lo mejor que puedo hacer):

La cofibra de la pareja $( \mathbb P^n, \mathbb P^{n-1})$ (que no existe como esquema pero sí existe si se amplía su alcance a una categoría adecuada de (pre)poleas) puede llamarse un $2n$ -esfera, la motivación $2n$ -esfera.

Además, el producto estrella de la motivación $2m$ -esfera con la motivación $2n$ -La esfera es la motivación $2(m+n)$ -esfera. Por ejemplo, puedes hacer un mapa de parejas $$( \mathbb P^1 \times \mathbb P^1, \mathbb P^1 \vee \mathbb P^1) \to ( \mathbb P^2, \mathbb P^1)$$ induciendo un isomorfismo de las cofibras.

En cierto sentido, basado en la consideración de los mapas $X \times \mathbb A^1 \to Y$ como homotopías, $ \mathbb P^{n-1}$ es una retracción de deformación de $ \mathbb P^n- \ast $ el complemento de un punto en la proyección $n$ - el espacio. Así que la homotropía de la pareja $( \mathbb P^n, \mathbb P^n- \ast )$ es, hasta la homotropía, lo mismo.

Si crees en la escisión, entonces la homotopía de la pareja $( \mathbb A^n, \mathbb A^n- \ast )$ es otro modelo para la misma esfera. Y ya que $ \mathbb A^n$ es contraíble, lo que hace que $ \mathbb A^n- \ast $ se parece mucho a un $(2n-1)$ -esfera, con la motivación $2n$ -la esfera siendo en algún sentido su suspensión.

Pero la motivación $2(n+1)$ -la esfera no es en el mismo sentido la doble suspensión de la motivación $2n$ -esfera; la cohomología está equivocada

Answer 2

Para ampliar la respuesta de Tom Goodwillie:

una definición precisa de "esfera motivadora" sería $$S^{p,q} = \big ( \Delta ^{p-q} / \partial \Delta ^{p-q} \big ) \wedge \big ( \bigwedge ^q \mathbb {G}_m \big )$$ que puedes interpretar como el $q$ -producto de la multiplicación del grupo multiplicador $ \mathbb {G}_m$ aplastado con un $(p-q)$ -una esfera simplificada y dimensional. Este producto de choque tiene sentido en una categoría de preesferas simplificadas en esquemas lisos (que es con lo que se trabaja en la teoría de la homotopía A¹).

Los índices pueden explicarse mirando el motivo $M(S^{p,q}) = \mathbb {Z}(q)[p]$ o en las realizaciones, donde la realización compleja da $S^p$ y la realización real da $S^{p-q}$ . Se puede leer más sobre esto en el periódico Morel-Voevodsky.

Ahora bien, estas no son variedades algebraicas, por definición, así que una buena pregunta es

Para los números enteros $p$ y $q$ hace que una variedad algebraica $X$ que es A¹-débilmente equivalente a $S^{p,q}$ ?

También diremos " $X$ es un $S^{p,q}$ ". De mirar las realizaciones ya se puede excluir $p,q$ Negativo. Un ejemplo positivo es (por definición) $ \mathbb {G}_m$ que es un $S^{1,1}$ .

Como Tom Goodwillie explicó, $ \mathbb {A}^n / ( \mathbb {A}^n \setminus 0)$ es un $S^{2n,n}$ (que algunas personas acortan para "motivar" $2n$ -esfera") y $ \mathbb {A}^n \setminus 0$ es un $S^{2n-1,n}$ .

No se conoce mucho más allá de eso, supongo.

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Hay aún más variedades que podrían contar como versiones algebraicas de las esferas. Una característica interesante de la geometría algebraica es que se pueden observar muchos campos de definición. Los cuadrantes de proyección sobre los números complejos se ven todos iguales (en cada dimensión), ya que son isomórficos (dada la misma dimensión) a los cuadrantes divididos $Q_{2n}^{split} = \{ \sum_ {i=0}^n x_iy_i = 0\}$ o $Q_{2n+1}^{split} = \{ \sum_ {i=0}^n x_iy_i = z^2\}$ así como a los cuadrantes anisótropos $Q_{m} = \{ \sum_ {i=0}^m z_i^2\}$ (por cambio de base). En campos más pequeños, no cuadráticamente cerrados, estos cuadrantes ya no son isomórficos.

Ahora mira los cuadrantes afines dentro de los cuadrantes proyectivos (quitando una sección de hiperplano adecuada). Conjeturadamente, los divididos son esferas motivadoras (al menos tienen el motivo adecuado), mientras que los anisótropos no lo son. Se pueden considerar estas formas de esferas motivadoras.

Answer 3

Probablemente no, al menos tratando la cuestión de manera ingenua, ya que la geometría algebraica se centra en variedades proyectivas lisas, y éstas tienen una cohomología no nula (para básicamente cualquier teoría de cohomología) en grados $0, 2, \ldots 2 \cdot \dim $ la clase de la sección del hiperplano en $H^2$ tiene un producto de copa superior no cero consigo mismo.