¿Arzelà-Ascoli requiere elección?

Question

Inspirado en una pregunta reciente de Math.SE titulada ¿Dónde necesitamos el axioma de elección en la geometría de Riemann? Estaba pensando en el Teorema de Arzelà--Ascoli . Vamos a exponer una versión muy simple:

Teorema. Dejemos que $\{f_n : [a,b] \to [0,1]\}$ sea una secuencia equicontinua de funciones. Entonces una subsecuencia $\{f_{n(i)}\}$ converge uniformemente en $[a,b]$ .

Las pruebas que he visto funcionan como sigue: Tome un subconjunto denso contable $E$ de $[a,b]$ . Utilice un "argumento de diagonalización" para encontrar una subsecuencia que converja puntualmente en $E$ . Utilice la equicontinuidad para concluir que esta subsecuencia realmente converge uniformemente en $[a,b]$ .

El paso de "diagonalización" es el siguiente: Enumerar $E$ como $x_1, x_2, \dots$ . $\{f_n(x_1)\}$ es una secuencia en $[0,1]$ por lo que tiene una subsecuencia convergente $\{f_{n_1(i)}(x_1)\}$ . $\{f_{n_1(i)}(x_2)\}$ tiene ahora una subsecuencia convergente $\{f_{n_2(i)}(x_2)\}$ y así sucesivamente. A continuación, $\{f_{n_i(i)}\}$ converge en todos los puntos de $E$ .

Por supuesto, para hacer esto, en cada paso $k$ tuvimos que elegir una de las (posiblemente incontables) subsecuencias convergentes de $\{f_{n_{k-1}(i)}(x_k)\}$ Así que se necesita algún tipo de elección (¿supongo que la elección dependiente es suficiente? No soy un teórico de conjuntos (IANAST)). De hecho, hemos demostrado que $[0,1]^E$ es secuencialmente compacto (es metrizable por lo que también es compacto).

Por otro lado, no hemos utilizado la (equi)continuidad en este paso, así que quizás haya una forma inteligente de hacer uso de ella para no necesitar un axioma de elección.

Así que la pregunta es la siguiente:

¿Se puede demostrar el teorema de Arzelà--Ascoli en ZF? Si no es así, ¿es equivalente a DC o a algún axioma de elección similar?

Answer 1

Hay una forma canónica de comprobar la literatura para la mayoría de las preguntas de este tipo. Dado que surgen con cierta frecuencia, creo que tener la referencia aquí puede ser útil.

En primer lugar, mira las "Consecuencias del el axioma de la elección", de Paul Howard y Jean E. Rubin, Mathematical Surveys and Monographs, vol 59, AMS, (1998).

Si la pregunta no está ahí, pero ha sido estudiada, es muy probable que de que esté en la base de datos del libro que se mantiene en línea, http://consequences.emich.edu/conseq.htm

Al escribir "Ascola" en la última entrada de la página que se acaba de enlazar, me dice que se trata del formulario 94 Q. Obsérvese que el enunciado que proporcionan suele llamarse teorema clásico de Ascoli:

Para cualquier conjunto $F$ de funciones continuas de ${\mathbb R}$ a ${\mathbb R}$ las siguientes condiciones son equivalentes:
1. Cada secuencia en $F$ tiene una subsecuencia que converge continuamente a alguna función continua (no necesariamente en $F$ ).
2. (a) Para cada $x \in{\mathbb R}$ el conjunto $F (x) =\{f (x) \mid f \in F \}$ está acotado, y
(b) $F$ es equicontinuo.

Para ver las otras formas equivalentes de la entrada 94, escriba "94" en la línea inmediatamente superior.

De ahí aprendemos: La forma 94 es "Toda familia denumerable de conjuntos no vacíos de reales tiene una función de elección".

Hay otras formas equivalentes que pueden ser de interés. Por ejemplo:

• (94 E) Todo segundo espacio topológico contable es Lindelöf.
• (94 G) Todo subconjunto de ${\mathbb R}$ es separable.
• (94 R) Determinación débil. Si $A$ es un subconjunto de ${\mathbb N}^{\mathbb N}$ con la propiedad de que $\forall a \in A\forall x \in{\mathbb N}^{\mathbb N}($ si $x(n) = a(n)$ para $n = 0$ y $n$ impar, entonces $x\in A)$ , entonces en el juego $G(A)$ uno de los dos jugadores tiene una estrategia ganadora.
• (94 X) Toda familia contable de subconjuntos densos de ${\mathbb R}$ tiene una función de elección.

El sitio web y el libro ofrecen pruebas y referencias. Una referencia que aparece con cierta frecuencia en el formulario 94 es Rhineghost, Y. T. "The naturals are Lindelöf iff Ascoli holds". Categorical perspectives (Kent, OH, 1998), 191-196, Trends Math., Birkhäuser Boston, Boston, MA (2001).

Answer 2

Debo mencionar que el teorema

Teorema. Sea $\{f_n:[a,b] \to [0,1]\}$ sea una secuencia equicontinua de funciones. Entonces una subsecuencia $\{f_{n(i)}\}$ converge uniformemente en $[a,b]$ .

se mantiene sin ninguna elección (para $a, b \in \mathbb R$ ). Esto se demuestra utilizando Heine-Cantor para conjuntos equicontinuos y eligiendo la subsecuencia de forma inteligente (ver http://arxiv.org/abs/1509.01078 para una prueba con un subconjunto compacto de $\mathbb R^d$ en lugar de $[a, b]$ (no es muy corto (7 páginas), por lo que me remito al documento).

La dirección problemática es:

Teorema. Sea $F \subset \mathcal C(C)$ ser secuencialmente compacto ( $C \subset \mathbb R^d$ siendo un conjunto compacto). Entonces $F$ está acotado y es equicontinuo.

Eso es lo que equivale a la elección contable para subconjuntos de los números reales.