¿Por qué el agua que cae lentamente de un grifo se dobla hacia dentro?

Question

Esto es algo que cualquiera podría comprobar fácilmente. Cuando abrimos un grifo lentamente, el agua se dobla hacia dentro (hacia el eje) manteniendo su flujo laminar. A partir de cierta altura por debajo de la apertura, el flujo se vuelve turbulento. He ilustrado aproximadamente la forma del agua cerca de la parte superior en el siguiente diagrama:

He intentado explicar el fenómeno anterior basándome en mis conocimientos sobre dinámica de fluidos. Consideremos el siguiente diagrama:

Aquí, $A_1$ y $A_2$ son las áreas de la sección transversal y $v_1$ y $v_2$ son las velocidades de las moléculas de agua a dos alturas diferentes (indicadas con líneas rojas punteadas).

Dado que, la forma del agua permanece bastante constante y el flujo es laminar, en un intervalo de tiempo $\Delta t$ El volumen de agua que pasa por el nivel 1 debe ser igual al volumen de agua que pasa por el nivel 2. Matemáticamente, podemos decir:

$$A_1v_1\Delta t=A_2v_2\Delta t$$ $$A_1v_1=A_2v_2$$

O en otras palabras, el producto del área de la sección transversal y la velocidad es el mismo en todas las alturas y esto se conoce como la ecuación de continuidad. Como las moléculas de agua están bajo la fuerza de atracción de la gravedad, se aceleran hacia abajo. Por lo tanto, $v_1<v_2$ . Como el producto del área de la sección transversal y la velocidad debe ser una constante, $A_1>A_2$ . Esto explica por qué el agua se dobla hacia el eje mientras cae lentamente de un grifo.

Pero la explicación anterior falla a alturas mucho menores sobre la zona de flujo fluctuante (donde el flujo fluctúa de laminar a turbulento). Consideremos otro diagrama:

El área de la sección transversal se mantiene casi constante en las alturas intermedias por encima de la zona roja. No disminuye de acuerdo con la ecuación de continuidad. Además, mi método de explicación implica muchas suposiciones y también he descuidado la tensión superficial, la viscosidad, etc. No soy capaz de imaginar cómo afectarían estas fuerzas a nuestros resultados.

¿Es esta una razón correcta para " ¿Por qué el agua que cae lentamente de un grifo se dobla hacia dentro? "o ¿hay alguna explicación mejor para este fenómeno?

Imagen de cortesía: Mi propio trabajo :)

Answer 1

De hecho, se puede predecir la forma del perfil con precisión utilizando los argumentos que mencionas arriba, que en general son correctos. Para ello, puedes hacer las siguientes suposiciones:

• No hay que tener en cuenta la viscosidad (no es una gran suposición, pero es un comienzo).
• La presión es la misma en todas las partes del fluido: los bordes son superficies libres, así que esto es razonable.
• El flujo es axialmente simétrico (es decir, la sección transversal de arriba abajo es siempre circular).

Si se hace esto, y se toma la ubicación del grifo como origen, se puede establecer la relación entre la energía potencial gravitatoria y la velocidad del flujo utilizando la ecuación de Bernoulli como:

$$\rho g h + \rho \frac{1}{2}v^2 = \rho \frac{1}{2}v_0^2$$

donde $v$ es la velocidad del fluido en función de la altura $h$ , $\rho$ es la densidad, y $v_0$ es la velocidad a la que el agua sale del grifo.

Resolver para $v$ encontrarás que..:

$$v = \sqrt{v_0^2 - 2gh}$$

A medida que el fluido se desplaza hacia abajo (es decir, a medida que $h$ se vuelve más negativo), la velocidad aumenta como es de esperar.

Entonces puedes usar la conservación de la masa para el resto. Asumiendo un flujo constante, encontrarás que

$$A_1 v_1 = A_2 v_2$$

para dos secciones transversales cualesquiera del flujo. Utilizando las secciones transversales en el grifo y otra sección transversal arbitraria, y declarando el radio del grifo como $r_0$ encontrarás:

$$\pi r_0^2 v_0 = \pi r^2 v$$ $$\pi r_0^2 v_0 = \pi r^2 \sqrt{v_0^2 - 2gh}$$

Resolviendo el radio $r$ se obtiene la siguiente expresión:

$$\boxed{r(h) = \frac{r_0 \sqrt{v_0}}{(v_0^2 - 2 g h)^{1/4}}}$$

Este descenso del radio a medida que disminuye la altura es coherente con sus ilustraciones. Por ejemplo, esto es lo que determino analíticamente como el perfil de flujo cuando utilizo valores estándar para el flujo de un grifo de lavabo ( $r_0 = 1.5$ centímetros, $v_0 = 0.134$ metros por segundo, y $g = 9.81$ metros por segundo al cuadrado):

Obsérvese que el perfil de flujo se vuelve efectivamente recto a distancias observables en el lavabo de un baño común (4 pulgadas más o menos). Esto es coherente con sus observaciones.

A partir de cierto punto, el chorro se vuelve tan fino que los efectos de la tensión superficial junto con el cizallamiento en la interfaz aire-agua empiezan a desestabilizar la forma y hacen que se rompa en gotas. Además, el flujo se vuelve turbulento a partir de cierta distancia del grifo, por lo que esta predicción sólo es precisa para las primeras etapas de dicho flujo (es decir, para los "pequeños" $h$ ).

Answer 2

Para ampliar un poco la excelente exposición de @aghostinthefigures, para los pequeños chorros impulsados por la gravedad el flujo no se vuelve turbulento, sino que está sujeto a inestabilidad de rayleigh cuando su sección transversal es lo suficientemente pequeña como para que las fuerzas de tensión superficial sean dominantes. En ese momento, cualquier pequeña perturbación del chorro hará que se rompa espontáneamente en gotas individuales antes de que el flujo en el chorro tenga la oportunidad de volverse turbulento.

Answer 3

A partir de la ecuación de continuidad para el flujo estacionario, $A_1v_1=A_2v_2$ cuando el agua sale del grifo que está a una altura $h$ de la línea de referencia entonces su velocidad aumenta parabólicamente como la altura $h$ disminuye según la tercera ecuación del movimiento $v_2^2=v_1^2-2gh$ . El aumento de la velocidad hace que el área de la sección transversal disminuya de forma no lineal a medida que la altura $h$ disminuye manteniendo el flujo laminar para cierta caída de altura. Como resultado, el agua que cae del grifo se vuelve cada vez más estrecha en su sección transversal, es decir, se dobla hacia su eje hasta que el agua que fluye se rompe en gotas (manteniendo el volumen constante pero con menos superficie) debido a la inestabilidad de Rayleigh.