Forma de los copos de nieve

Question

¿Existe una teoría matemática que explique la forma de un copo de nieve? ¿Por qué no es redondo?

Actualización Los espacios métricos arbóreos aparecen a menudo como límites de secuencias de espacios métricos (digamos, conos asintóticos o límites de los espacios métricos). Me pregunto si se pueden obtener objetos similares como formas que minimizan algún tipo de funcional de energía. Esto puede conducir a nuevas construcciones en la teoría geométrica de grupos.

Acabo de ver la respuesta de Igor Rivin que puede ser lo que se necesita. Quizás alguien pueda dar una respuesta más detallada?

Answer 1

Janko Gravner en UC Davis y David Griffeath en la Universidad de Wisconsin-Madison han modelado el crecimiento de los copos de nieve, según esta página web :

los investigadores pudieron recrear una amplia gama de formas de copos de nieve naturales. En lugar de intentar modelar cada molécula de agua, divide el espacio en trozos tridimensionales de un micrómetro de diámetro. El programa tarda unas 24 horas en producir un "copo de nieve" en un ordenador de sobremesa moderno.

               
El documento, el código y las películas sobre este modelado están disponibles aquí . Aquí hay un 1min17seg vídeo de YouTube de simulaciones de crecimiento siguiendo este modelo; y aquí hay un 26seg, conjunto de simulaciones más coloridas .

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Añadido . Algunos detalles añadidos de los documentos G-G:

Los bloques de construcción de los copos de nieve son moléculas de hielo natural dispuestas de forma hexagonal ( Ih ). Todavía no se sabe cómo surgen los elaborados diseños al congelarse el vapor de agua.... El proceso de solidificación implica una compleja química física de agregación limitada por difusión y cinética de adhesión..... Nuestro montaje básico presenta la solidificación Autómatas celulares en la red triangular $\mathbb{T}$ (para reflejar la disposición de las moléculas de agua en los cristales de hielo).

Haciendo eco de Igor, ¡no es tan sencillo!

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En el documento "Monte Carlo Simulation of the Forma" se explora un modelo tridimensional con una base más física. "Monte Carlo Simulation of the Formation of Snowflakes", de Maruyman y Fujiyoshi Revista de Ciencias Atmosféricas , 2005. Se realizan comparaciones de la forma con los "copos de nieve observados":
               

Answer 2

Sí, existe una teoría de la formación de cristales bastante activa, en la que el difunto Fred Almgren y la muy presente Jean Taylor realizaron un trabajo pionero. Si buscas en Google "ALmgren Taylor dendrites" te iluminarás. Puedes leer los trabajos (y los trabajos que hacen referencia a los trabajos) -- creo que la teoría no es tan simple.

Answer 3

Tenía curiosidad por la segunda pregunta del candidato, que ahora creo que es bastante difícil. A saber:

¿Por qué no es redonda [la forma de un copo de nieve]?

Varias fuentes físicas (por ejemplo este documento ) sugieren la siguiente "explicación" para la forma de un copo de nieve, que menciono en mi comentario sobre la pregunta original: a saber, que el agua cristaliza en una red hexagonal, por lo que los pequeños copos de nieve son simplemente hexágonos; es más probable que las nuevas moléculas de agua se adhieran en las esquinas que en los bordes o en las caras (por razones complicadas que no entiendo realmente), por lo que los vértices crecen más rápido que los bordes. Así, el hexágono se convertirá en una estrella no convexa de 6 puntas; luego los bordes de esta figura se dividirán de forma similar, y así sucesivamente. Esta interpretación se confirma, por ejemplo, en la imagen de la página 884 del documento citado.

Esto inspiró el siguiente modelo simple, que viene en sabores deterministas y aleatorios. Construiremos un copo de nieve en la red hexagonal estándar en $\mathbb{R}^2$ , abarcando, por ejemplo, a $(1, 0)$ y $(1/2, \sqrt{3}/2)$ . Comienza con un único hexágono regular de lado $1$ centrado en el origen, con vértices los seis vectores más cortos de la red.

En la versión determinista del modelo, en cada tiempo entero positivo $t$ añadimos un hexágono regular de celosía con longitud de lado $1$ centrado en cada punto de la red que es el vértice de exactamente un hexágono. En la versión aleatoria, en cada tiempo entero positivo $t$ añadimos un hexágono centrado en un punto aleatorio de la red que es el vértice de exactamente un hexágono con probabilidad uniforme sobre tales puntos de la red.

Esta mañana he tenido algo de tiempo, así que he codificado ambos modelos en el lenguaje "Processing". Aquí está un típico par de copos de nieve del modelo determinista:

Este modelo tiene las siguientes propiedades interesantes, ninguna de las cuales es especialmente difícil de demostrar.

1) Por envoltura de un copo de nieve entiendo el menor polígono simplemente conectado que lo contiene. Sea $S_n$ sea la envoltura del copo de nieve en el momento $n$ . Considere la secuencia $S_n$ en el espacio de los polígonos planos medidos por la distancia de Hausdorff, módulo de homotecia (dos polígonos son homotéticos si uno es congruente con un reescalado del otro). Entonces $S_n$ es recurrente (es decir, cualquier clase de homotecia visitada por $S_n$ se aproxima de forma arbitraria infinitas veces). Sin embargo, la única clase de homotecia tomada infinitas veces por el $S_n$ es la de un hexágono regular. (Por lo tanto, en este escenario, el adagio de que no hay dos copos de nieve iguales está bastante lejos).

2) Que $H_n$ sea el hexágono regular más pequeño que contenga $S_n$ . Entonces $$\frac{\text{area}(S_n)}{\text{area}(H_n)}$$ está limitada por encima por $1$ y por debajo por, digamos $1/2$ (aunque se puede hacer mejor). En virtud de la recurrencia del $S_n$ Sin embargo, esta relación no alcanza un límite.

3) Algunos triángulos interiores no se rellenan nunca y, como se ve en las imágenes de arriba, siguen un bonito patrón regular que no me he molestado en resolver.

Ahora veamos el modelo aleatorio. Aquí hay dos copos de nieve típicos:

Como pueden ver, son bastante redondos, por lo que sería mejor llamarlos bolas de nieve. Entiendo este modelo mucho menos que el determinista anterior. Sin embargo, las siguientes conjeturas son naturales dadas las imágenes.

4) (Conjetura) En el espacio de las clases de homotecia de los polígonos planos, medido por la distancia de Hausdorff, como en (1), las envolventes de estas formas tienden a la clase de homotecia de un círculo con probabilidad $1$ .

5) (Conjetura) La relación $$\frac{\text{perimiter}(S_n)}{\sqrt{\text{area}(S_n)}}$$ tiende a infinito con probabilidad $1$ .

En otras palabras, el modelo aleatorio que sugerí implícitamente en mi comentario sobre la pregunta original parece dar copos de nieve redondos. Así que al menos creo que la cuestión física de por qué los copos de nieve no son redondos sigue siendo bastante interesante.

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En los comentarios, Rebecca Bellovin sugiere otro modelo aleatorio: fijar una probabilidad $0\leq p\leq 1$ y en cada momento $t$ y cada punto válido de la red (es decir, cada punto de la red que es el vértice de exactamente un hexágono) añade un hexágono centrado en ese punto con probabilidad $p$ . Al menos para los pequeños $t$ (por ejemplo $t<10000$ ), esto parece interpolar entre los dos modelos que doy aquí, y ciertamente si uno escala $p$ en proporción al número de puntos válidos de la red (de modo que, por ejemplo, la probabilidad de que se añada más de un hexágono o de que no se pierda ningún punto válido sea despreciable), estos modelos se comportarán exactamente como los que yo doy. Por otro lado, para un número medio de $p$ sucede algo interesante: los copos de nieve parecen hexágonos redondeados. A petición de Rebecca, estoy publicando una imagen para $p=0.7$ abajo:

No tengo ninguna explicación real para este fenómeno; sólo heurística poco convincente.

Answer 4

Recientemente, el Veritasium publicó un vídeo en YouTube sobre El misterio de los copos de nieve El vídeo sigue el trabajo del Dr. Ken Libbrecht, que ha pasado gran parte de su vida estudiando los copos de nieve. Aquí está uno de sus trabajos recientes:

Un modelo físico cuantitativo del diagrama de la morfología de los cristales de nieve

Obviamente no es la respuesta completa a la pregunta del OP, pero parece que copo de nieve debe saber.