Compensación de primer cuadrado: ¿por qué es +7 más frecuente que -7?

Question

Para un primer $p$, definir $\delta(p)$ a ser el más pequeño offset $d$ a partir de que $p$ difiere de un cuadrado: $p = r^2 \pm d$, para $d,r \in \mathbb{N}$. Por ejemplo, \begin{eqnarray} \delta(151) & = & +7 \;:\; 151 = 12^2 + 7 \\ \delta(191) & = & -5 \;:\; 191 = 14^2 - 5 \\ \delta(2748971) & = & +7 \;:\; 2748971= 1658^2 + 7 \end{eqnarray} Para un determinado $\delta=d$ valor, definir $\Delta(n,d)$ a ser el número de los números primos $p$ en la mayoría de las $n$ con $\delta(p) = +d$, menos el número de con $\delta(p) = -d$. En otras palabras, $\Delta$ registros acumulativos de la prevalencia de $+d$ desplazamientos de más de $-d$. Por ejemplo, $\Delta(139,5)=-2$ debido a que hay dos más $-5$'s de $+5$'s hasta $n=139$: $$ \delta(31)=-5 \;,\; \delta(41)=+5 \;,\; \delta(59)=-5\;,\; \delta(139) =-5 \;. $$ La siguiente figura muestra $\Delta(p,5)$ e $\Delta(p,7)$ a de la $200000$-th el primer $2750159$. El desplazamiento de $+7$ se produce $161$ veces más que el desplazamiento de $-7$, y lo contrario ocurre para $|\delta|=5$: $-5$ es más común de lo que $+5$.

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Q. Hay una explicación simple para los diferentes comportamientos de las compensaciones $5$ e $7$?

Obviamente, la cuestión puede ser generalizado para explicar el crecimiento de cualquier $|\delta|$.

Previamente me pidió una versión de esta pregunta en los MSE, el uso de un poco diferentes convenciones de notación y con menos de preguntas enfocadas.

Answer 1

Considere la posibilidad de $n^2+7$ e $n^2-7$ modulo $3$. Si estos son los de mejor debe ser distinto de cero $\pmod 3$, y en el primer caso $n$ puede ser cualquier cosa mod $3$, mientras que en el segundo caso $n$ debe $0 \pmod 3$. Si consideras $n^2+5$ e $n^2-5$, se puede ver que el patrón se invierte. Este ya es un gran prejuicio en contra de un desplazamiento a ser preferido sobre los demás.

El de Hardy-Littlewood, las conjeturas de hacer este preciso. Uno espera que (para un número $k$ no menos de un cuadrado) el número de números primos de la forma $n^2+k$ con $n\le N$ (decir) es $$ \sim \frac 12 \prod_{p\ge 3} \Big(1 -\frac{(\frac {k}{p})}{p-1} \Big) \frac{N}{\log N}, $$ donde en el numerador el producto de arriba es el símbolo de Legendre. Las constantes en frente de la $N/\log N$ explicar estos sesgos.

Usted no tiene que preocuparse acerca de un menor desplazamiento de $\pm 5$ o $\pm 7$, puesto que una aplicación del tamiz muestra que los números de $n^2+a$ e $n^2+b$ (fijo $a$, $b$) ambos son primos sólo $\le CN/(\log N)^2$ del tiempo, por una constante $C$.

Answer 2

Modulo 6 las plazas son 0,1,4,3,4,1 y las plazas+7 (o -5) sólo puede ser 1,2,5,4,5,2, de los cuales 3/6 puede ser primo. Las plazas-7 (o +5) son 5,0,3,2,3,0 de que sólo 1/6 puede ser primer. Obviamente, esto no es una prueba, pero es evidente que nadie de primer orden sorpresa en lo observado desplazamientos.

ACTUALIZACIÓN he comprobado compensaciones modulo números diferentes (tales como (mod 2*3*5*7*11*13*17*...)) y me encontré con que mod(3*7*11*19*23) tenemos 64638/25806 para +7/-7 y 21945/73899 para +5/-5, mientras que los números primos 2, 5, 13, 17, 29 no afectan a la relación. Me imagino que explorar más primos se refinar aún más las relaciones, con los números primos $\equiv 3$ (mod 4) que afecten a ellos y a otros no. ¿QUÉ ESTÁ PASANDO AQUÍ?