Sobre la independencia y la gran fuerza cardinal de las declaraciones físicas

Question

El presente artículo pretende abordar las posibles interacciones de dos extraños reinos de extremadamente grandes y extremadamente pequeñas criaturas, es decir, grandes cardenales y la física cuántica.

Tal vez después de todo esas paradojas y la incertidumbre de los fenómenos entre extraños pequeñas partículas, que siguen su propio extraña lógica cuántica, y después de todos esos controversias en torno a la correcta interpretación de lo que está pasando en el sub-atómica del universo, la última gota que iba a romper la espalda del camello podría ser el descubrimiento de una serie de declaraciones en la teoría cuántica que son independientes o tienen gran cardenal de fuerza conjunto teóricamente. El hecho de que enviará físicos tales declaraciones más allá de la esfera en la que el llamado de costumbre herramientas matemáticas puede darnos una solución.

Por no hablar de que inspirado por Hilbert sexta del problema y de la incompletitud de Gödel teoremas, algunos eminentes de los físicos ya se llevó a discusiones acerca de la posibilidad de obtención de la independencia de los resultados o de la existencia de indecidible hechos y teorías en la física. En esta dirección, véase Stephen Hawking conferencia, Gödel y el fin del universo. [El correspondiente post en MSE puede ser de algún interés, así].

De todos modos lo malo bueno (?) noticia es que la intersección de gran cardenal de la teoría cuántica y la física no está vacía (si no es potencialmente grande). Por ejemplo se puede considerar el siguiente teorema de Farah y Magidor en la Independencia de la existencia de Pitowsky spin modelos que contiene un supuesto de que la consistencia de la fuerza de medibles cardenales. [cf. R. Solovay, con un valor Real medible cardenales, Axiomático que la Teoría de conjuntos, 1971.]

Teorema (Farah - Magidor): Si la continuidad es un valor real medible, a continuación, Pitowsky una especie de spin función no existe. Lo mismo ocurre en el modelo que se obtiene de cualquier universo de $ZFC$ mediante la adición de $(2^{\aleph_0})^+$-muchos aleatorios reales.

Ver también algunos relacionados con las discusiones filosóficas con respecto a este resultado:

• Menachem Magidor, Algunas teorías son más iguales.

• Jakob Kellner, Pitowsky del Kolmogorovian modelos y Super-Determinismo. [Relacionado: Super-determinismo]

Uno también podría estar interesado en echar un vistazo a los siguientes documentos que arrojan algo de luz sobre la manera en que forzar, Cohen reales, ultrafilters y diversas conjunto de conceptos teóricos y herramientas de jugar un papel en relación con algunos problemas de la física cuántica, incluyendo variables ocultas:

• Jerzy Krol, el Modelo y el Conjunto Teórico de los Aspectos de la Exótica Suavidad Estructuras en $\mathbb{R}^4$.

• William Abucheos, Matemático de la teoría cuántica I: Aleatorio ultrafilters como variables ocultas.

• Robert Van Wesep, variables Ocultas en la mecánica cuántica: modelos Genéricos, conjunto teórico forzar, y el surgimiento de la probabilidad.

Inspirado por Farah-Magidor del teorema y de los otros documentos mencionados, se plantea la siguiente cuestión:

Pregunta: ¿cuáles son algunos otros ejemplos de las declaraciones en (quantum) de la física que son matemáticamente independientes o tienen algún gran cardenal de la fuerza (o al menos hacer uso de gran cardenal supuestos en su formulación)?

Favor de proporcionar referencias, si usted está enterado de tal resultado.

Answer 1

Lo siento, no una respuesta, pero demasiado largo para un comentario.

Yo soy el autor de la "Pitowsky del Kolmogorovian modelos y Super-Determinismo" de papel. Yo iba a rechazar la afirmación de que este papel es un "discusión filosófica". Más bien, yo (intentar) demostrar (mediante simples de la física y las matemáticas, no la filosofía) que el conjunto Pitowsky modelo de negocio es físicamente sin sentido (y, en consecuencia, no es un buen ejemplo de una conexión entre la teoría y la física).

Permítanme hacer una comparación: Uno puede demostrar que ninguna estrategia de garantizar un ingreso estable jugar a la ruleta, pero, por supuesto, para una prueba de que usted tiene que asumir su potencial estrategia es "medible". Uno puede ahora reclamar "Aha! Esto indica una profunda conexión entre las matemáticas y la teoría de conjuntos!" Que por supuesto, sería absurdo.

El Pitowsky construcción es más complicada, y por lo tanto es más difícil de ver, pero básicamente se hace algo similar: Se sabotea el simple, elegante prueba de que el teorema de Bell, por el supuesto de que algunas cosas no es mensurable. Por supuesto, dicha afirmación no constituye una variable oculta de la teoría (como diciendo que "la estrategia ganadora podría no ser medibles" sólo sabotea la ruleta de la prueba, pero no se tiene una estrategia ganadora). Pitowsky, a continuación, va a "construir" tales que no se pueden medir variables ocultas, mediante la introducción de un no-estándar de la noción de probabilidad. Pero, como trataré de señalar en mi papel, en el final de esta noción sólo dice: "Le asignamos (no estándar) probabilidad 1 a exactamente los resultados que va a salir de esos de los experimentos que va a ser realizadas". Este es lógicamente consistente, pero básicamente equivalente a la super-determinismo: una Vez que sabemos exactamente lo que va a pasar (en particular: que la medición se realiza), no hay ninguna localidad problema con Campana o GHZ. Esto ha sido obvio desde el principio de las investigaciones de la no-go teoremas.

Volviendo a la comparación: me pueden decir que tengo una ruleta estrategia ganadora: yo siempre juego con el color que luego van a ser recogidos. De nuevo, esto no me parece para indicar una conexión entre las matemáticas y el axioma de elección...

Answer 2

En un resultado reciente con Shay Moran, Pavel Hrubes, Amir Shpilka y Amir Yehudayoff, mostramos que la respuesta a una pregunta básica en el aprendizaje automático estadístico está determinada por el valor del continuo y, por lo tanto, es independiente de la teoría de conjuntos ZFC. El documento estará disponible en Arxiv dentro de unas pocas semanas. Aquí hay un enlace a ese documento: https://arxiv.org/abs/1711.05195

Answer 3

Se ha demostrado hace apenas dos años que la presencia o ausencia de un espectral de la brecha de ciertos corto alcance 2D celosía Hamiltonianos es independiente de los axiomas de ZFC:

T. S. Cubitt, D. Pérez-García y M. M. Wolf, "Undecidability de la Espectral Gap", la Naturaleza 528, 207-211 (2015)

(Una de 146 página de la versión completa se puede descargar desde este enlace.)

Answer 4

Aunque esto no responder directamente a tu pregunta, aquí es fundamental el papel que pueda ayudar a obtener resultados que puedan responder a su pregunta:

Mariana Boykan Pour-El y Ian Richards: "Noncomputability en el Análisis y la Física: Una Completa Determinación de la Clase de Noncomputable Lineal de los Operadores", los Avances en las Matemáticas 48, 44-74 (1983).

Cito el corto primer párrafo de este papel, ya que establece el tono para lo que sigue:

"Uno podría suponer que un "razonable" operador debe mapa computable de entrada de datos en computables soluciones. Tal vez resulte sorprendente que muchos de los operadores estándar de análisis de la física y de no hacerlo. En este artículo, se deberá determinar con precisión cuáles lineal a los operadores a hacer, y las que no, preservar la computabilidad."

Espero que este documento de ayuda.

Addendum: Consideran que su Principal Teorema y su Complemento:

Principal Teorema: Vamos a $X$ e $Y$ ser espacios de Banach con la computabilidad de las teorías, y deje $e_{n}$ ser un eficaz generador de $X$. Vamos $T$: $X$$\rightarrow$$Y$ ser un cerrado lineal operador cuyo dominio incluye {$e_{n}$} y tal que $T$$e_{n}$ es una secuencia computable en $Y$. A continuación, $T$ mapas de cada computable elemento de su dominio sobre un elemento computable de $Y$ si y sólo si $T$ está acotada.

El complemento. Bajo los mismos supuestos, si $T$ es limitada, a continuación, más se puede decir. El dominio de $T$ coincide con $X$, e $T$ mapas de cada secuencia computable en $X$ en una secuencia computable en $Y$.

Trabajando hacia atrás para descubrir la filosofía de motivación para su primer párrafo, parece que el lugar para comenzar el fin de analizar la no-computabilty en el análisis y la física que pretenden mostrar.

Ayuda esto a cualquiera, Morteza?

Answer 5

No se si se ajusta a lo que estás preguntando, pero la QM predicción de que un aparato físico puede generar un flujo de bits aleatorios es independiente, o de todos modos científicamente verificable, ya que la complejidad de Kolmogorov es uncomputable. Si usted lanza una moneda 1000 veces y afirmar que la cadena resultante se ha complejidad > 900 bits, que es casi cierto, pero en ese caso es improbable (ejemplo basado en una observación similar por Leonid Levin). No sólo eso, el flujo se supone que aritméticamente al azar y no sólo la prueba de Kolmogorov ($\Pi^0_1$) al azar, es decir, no se puede comprimir incluso con un $0^{(n)}$ oracle para finitos $n$. No sé qué sucede si $n\ge \omega$.