Las fibras y cofibraciones de los espectros son "lo mismo"

Question

Mi pregunta se refiere a un folclore declaración de que ahora he visto un par de veces, pero nunca realmente precisa. Un avatar es:

"Para los espectros de cada cofibration es equivalente a un fibration" (por ejemplo, en respuesta aquí https://mathoverflow.net/a/56575/18744),

Otra es:

"Para los espectros, fibrations y cofibrations secuencias son las mismas" (que es más fuerte que la declaración anterior, debido a que funciona en ambos sentidos)

En este punto yo ya estoy bastante feliz con una referencia adecuada. Sin embargo tengo algunas preguntas de seguimiento:

Hasta qué punto se puede cambiar entre los espacios y los espectros? La suspensión functor no conserva fibrations, ¿correcto? Entonces, ¿qué se puede decir acerca de la relación de la homotopy fibra (cofibre) de los espacios y la homotopy fibra (cofibre) de la suspensión de los espectros? ¿Y si los espacios involucrados son bucle infinito-espacios? El resultado $\Omega$-espectros de no llevar mucha información diferente de los espacios en sí, ¿no?

Concretamente:

Tengo una secuencia $X\to Y\to Z$ de los del grupo-como H-espacios, y saber que se forma un homotopy fibration. Me gustaría hacer declaraciones acerca de la homotopy cofibre de $X\to Y$. Yo tengo la pista a 'trabajar en los espectros', donde los dos son "el mismo", pero no saben qué hacer con ella.

Edit: Gracias a todos por tu respuesta. Juntas cubren quie un número de diferentes puntos de vista. Inicialmente, esperaba ser capaz de volver a espacios después de hacer una excursión a través de los espectros (tener bastante explícita $\Omega$-de los espectros de grupo como $H$-espacios). Parece que no es totalmente de forma genérica para hacer esto y creo que ahora tengo material suficiente para pensar acerca de las particularidades.

Answer 1

El siguiente podría ayudar a responder a la última parte de tu post:

En la década de 1960, Tudor Ganea desarrollado la tecnología que estudia la diferencia entre el homotopy fibras y cofibers de un mapa. Por ejemplo, supongamos que empezamos con un fibration $F \to E \to B$, en el que $B$ está conectado y la base. A continuación, tenemos un mapa $$ E/F \a B $$ y Ganea calcula su homotopy fibra como la topológico unirse a $F*\Omega B$ (que por cierto puede ser identificado con $F\wedge \Sigma\Omega B$ una vez que un punto de base en $F$ es elegido). En particular, podemos ver que si $E \to B$ es $r$conectados e $B$ es $s$-conectado, a continuación, el mapa de $E/F \to B$ es $(r+s+1)$-conectado.

No hay ninguna razón para detener en este punto, ya se puede iterar a la anterior: vamos a establecer $B_1 = E/F$. A continuación, el homotopy de la fibra del mapa $B_1 \to B$ está dado por $F \ast \Omega B \ast \Omega B \simeq F \wedge \Sigma \Omega B \wedge \Sigma \Omega B$.

Este procedimiento da una "filtración" $$E := B_0 \to B_1 \to B_2 \to \cdots $$ de los espacios de más de $B$ donde $B_j \to B$ es $(r+j)$-conectado y cuya homotopy fibra es de la forma $F \ast (\Omega B)^{\ast j}$.

Set $B_\infty := \text{hocolim}_j B_j$. A continuación, el mapa de $B_\infty \to B$ es un débil homotopy de equivalencia y nos han proporcionado una "filtración" $\{B_j\}$ de % de $B$ en que $B_0 = E$ , y en el que homotopy fibras de $B_j \to B$ se identifican como $F$ con $j$ copias de $\Omega B$ ingresaron en.

Lo que es interesante aquí es que, aunque la homotopy tipo de $B_j$ depende en la de $E = B_0$, el homotopy fibras del mapa $B_j \to B$ sólo dependen en $F$ e $B$ y es independiente de que fibration $E \to B$ con fibra $F$ que comienzan con.

Ejemplo: el universal bundle $EG \to BG$ de un grupo topológico $G$. En este caso, el homotopy de fibra de $B_j \to B$ $(B = BG)$ tiene la homotopy tipo de $j$veces la combinación de copias de $G$. El espacio de $B_j$ es de las órbitas de $G$ en esta iteración únete, y nosotros el estándar $j$-th filtración plazo en la construcción de la barra de $G$.

Una doble versión: Ganea también dio un Hilton-Eckmann dual de la teoría anterior, donde ahora empezamos con un cofibration secuencia $A\to X \to X/A$ y tomar el homotopy fibra $A_1$ de los map $X \to X/A$. Esto le da un mapa de $A \to A_1$ El homotopy cofiber de este mapa puede ser identificado (esta vez sólo en un rango de dimensiones) en términos de $A$ e $X/A$ (podría ser llamada la `co-join" de $\Sigma A$ con $X/A$). Esto produce una torre de fibrations $$\cdots \to A_3\to A_2 \to A_1$$ and compatible maps $Un \a A_j$ such that $A \a \lim_j A_j$ será un débil equivalencia bajo suave conectividad supuestos en $A$ e $A \to X$.

De la observación en fibra/cofiber secuencias: La siguiente es mi opinión sobre Tillman respuesta. De la OMI, Algebraicas Topologists históricamente han sido un poco descuidado con las definiciones (también he sido culpable de tal descuido). Para mí, un cofiber secuencia $A \to X \to C$ es realmente notación abreviada para un conmutativa homotopy cocartesian plaza $$ \requieren{AMScd} \begin{CD} A @>>> P \\ @VVV @VVV \\ X @>>> C \end{CD} $$ en que $P$ algunos (posiblemente débilmente) contráctiles espacio. Del mismo modo una fibra secuencia $F \to E \to B$ es la notación abreviada para un conmutativa homotopy cartesiano plaza $$ \requieren{AMScd} \begin{CD} F @>>> E \\ @VVV @VVV \\ P @>>> B \end{CD} $$ para algunos (posiblemente débilmente) contráctiles espacio de $P$. En el espectro caso, estas dos nociones están de acuerdo.

Answer 2

Una declaración expresa de que la gente está probablemente se refiere a cuando dicen cosas acerca de fibrations y cofibrations siendo "el mismo" en los espectros es que un homotopy pushout plaza de los espectros es también un homotopy pullback plaza (considerando cuadrados con una esquina trivial da homotopy fibration y cofibration secuencias). Una breve explicación de esto está dado por Goodwillie aquí: homotopy retroceso/pushout.

Si usted está interesado en una declaración formal en una de las categorías de modelo de espectros, entonces usted necesita para buscar en una prueba de que estas categorías son estables, como se define, por ejemplo, en Hovey el libro de Categorías de Modelo (Capítulo 7). Como se menciona aquí Homotopy límite-colimit diagramas de modelo estable categorías, Hovey explica (Observación 7.1.12) que homotopy el retroceso de las plazas y de homotopy pushout plazas de coincidir en cualquier modelo estable de la categoría. Pruebas de que el modelo estándar de las categorías de los espectros son estables se pueden encontrar en las referencias básicas para estas categorías: por ejemplo, para la categoría de simétrica espectros, Hovey-Shipley-Smith probar esto en el Teorema de 3.1.14 de su papel (Simétrica de los espectros. J. Amer. De matemáticas. Soc. 13 (2000), no. 1, 149-208, disponible aquí http://www.ams.org/journals/jams/2000-13-01/S0894-0347-99-00320-3/S0894-0347-99-00320-3.pdf).

Answer 3

Me gustaría ampliar en Matías respuesta un poco. Hay algún desafortunado terminología pasando a su alrededor. Ser un cofibration resp. fibration es una propiedad particular de un mapa puede tener; para los espacios de Hurewicz cofibrations y Serre cofibrations (en relación con los CW-complejos) son los que reciben más uso, y se han asociado a las nociones de fibrations; el concepto de un modelo de la categoría mencionada por Dan Ramras está en el fondo de esto, pero no creo que su pregunta merece, o requiere, salir con las armas grandes. Para los espectros, en el habitual modelo de estructura, un cofibration será un pariente CW-espectro, y $X → *$ es un fibration iff $X$ es $\Omega$-espectro.

Cada mapa puede ser convertido en un cofibration o en un fibration si se permiten a sí mismos para cambiar su destino resp. fuente por una falta de equivalencia. Para los espacios, la asignación de cilindro de la construcción se convertirá $f\colon A → X$ en un Hurewicz cofibration $A → (A \times I) \sqcup X/\sim$, y el camino de construcción de espacio se convertirá $f\colon E → B$ en un Serre fibration. Construcciones similares existen para Serre cofibrations y Hurewicz fibrations, y en realidad es un axioma de las estructuras del modelo que dichas sustituciones debe existir siempre. También en los espectros.

En otras palabras, en el homotopy categoría, no tiene sentido decir que un mapa es un cofibration o fibration.

Un cofibration secuencia, o fibration secuencia, es completamente diferente de los animales, aunque hay, por supuesto, una relación. La definición habitual de un cofibration secuencia es la siguiente: si $A → X$ es un cofibration, a continuación, $A → X → X/A$ es un cofibration secuencia, y cualquier $K → L → M$ débilmente equivalente a es un cofibration secuencia, también. Así que el primer mapa no tiene que ser una cofibration. De hecho, cualquier $A → X$ puede ser extendida a una cofibration secuencia (por la asignación de cono, para ser explícitos en los espacios). De forma análoga para fibration secuencias.

Es cierto que en los espectros de que si $A → B → C$ es un cofibration secuencia, a continuación, también es un fibration secuencia, y viceversa. Como un caso especial (elija $B$ a ser un punto), el bucle functor es inversa a la suspensión functor. Moralmente, en los espectros, se ha invertido la suspensión functor $\Sigma$, por lo tanto $\Sigma^{-1}$ e $\Omega$ gustaría estar adjunto a $\Sigma$, por lo que tienen que estar de acuerdo. Eso no es una prueba, aunque, sin embargo, usted encontrará explícita pruebas en cualquier libro de texto sobre estables homotopy teoría, por ejemplo, Adams "Estable homotopy y generalizado de la homología", parte III. El más conceptual de la razón de esto es el Blakers-Massey teorema, que es un teorema acerca de pushouts/pullbacks de espacios, que a grandes rasgos dice que un pushout diagrama altamente conectado mapas es también un pullback diagrama en un rango de dimensiones. El Freudenthal suspensión teorema mencionado por Matías es un corolario de esto.

Para atender sus preguntas más específicas: $\Sigma^\infty$ conserva cofibration secuencias, $\Omega^\infty$ conserva fibration secuencias, pero no viceversa. De hecho, $\Omega^\infty$ vez cofibration secuencias de espectros en fibration secuencias de espacios, lo cual no es sorprendente ya que cofibration secuencias de espectros se fibration secuencias, después de todo.

Y para tu pregunta concreta: usted tiene una natural mapa de la homotopy cofiber de $X → Y$ a $Z$ cuya conectividad depende de la conectividad de $X → Y$; el Blakers-Massey teorema contaré los detalles.

Answer 4

No estoy exactamente seguro de si este es el tipo de respuesta que usted está buscando, pero aquí va. Parece que la pregunta que usted está preguntando acerca de la inestabilidad de la comparación de homotopy fibra y cofiber, y no estoy convencido de que trabajando en los espectros realmente resuelve el problema.

Los ejemplos clásicos relativos a la interacción de homotopy fibra y homotopy cofiber provienen del bucle espacio fibration resp. la suspensión cofibration. Para un espacio de $X$ podemos considerar el bucle espacio fibration $\Omega X\to \ast\to X$, y luego el cofiber de $\Omega X\to \ast$ es $\Sigma\Omega X$. Si $X$ es un grupo: como $H$-espacio, esto puede ser un ejemplo de su situación. Del mismo modo, el homotopy de fibra de $\ast \to \Sigma X$ es $\Omega\Sigma X$. La precisa relación entre el $X$ e $\Omega\Sigma X$ está dado por la Freudenthal suspensión teorema - usted obtener isomorphisms en homotopy en un rango, y fuera de ese rango, usted todavía puede ser capaz de decir algo mediante el modelo de James.

Más generalmente, usted puede ser capaz de utilizar la relativa Hurewicz teorema para obtener una relación entre la homotopy de la fibra (el control de la relación homotopy grupos) y la homotopy cofiber (el control de la relación de homología de grupos). Puede que desee echar un vistazo a la discusión de la relación Hurewicz teorema de la "Simplicial homotopy la teoría del" libro de Goerss y Jardine.

Por último, no estoy seguro de si estoy de acuerdo a una declaración como "para los espectros de cofibrations y fibrations son los mismos". Son diferentes clases de mapas en la estructura del modelo. Sin duda cofiber secuencias de fibra y secuencias son las mismas.