¿Por qué son importantes las condiciones de finitud (y cómo reconocerlas)?

Question

Creo que aquí todo el mundo se ha reunido un montón de finitud condiciones, como aquellos que requieren de un espacio vectorial ser finito dimensional, un grupo abelian a ser finitely generado, un anillo para ser Noetherian, un colector para ser compacto, una gavilla de ser coherente, y un complejo para ser acotada. Y hay un montón de buenos teoremas una vez que asuman parte de la finitud de la condición. (por ejemplo, la dualidad de Serre y descomposición de Hodge para compact Kähler colectores.) Y la eliminación de aquellas condiciones de finitud parece ser no trivial y muy interesante. (Esto se aplica, por ejemplo, los dos teoremas mencionados anteriormente.)

Así que mi pregunta es,

¿por qué la finitud condiciones tan importante?

Esta pregunta me desconcertó por un largo tiempo. Recuerdo que antes de que me enteré de la compacidad, al realizar pruebas en el cálculo, sentí que necesitaba algo finito cubierta de la unidad cerrada de intervalo, pero de alguna manera pensé que yo debería evitar el uso de que en mi prueba. Incluso después de que me enteré de la compacidad de un tiempo, la única cosa que yo sentía que me da, fue una "combinatoria ventaja" ---- quiero decir, yo no entendía la necesidad de asumir la compacidad en muchos teoremas en el análisis elemental, aunque yo estaba seguro de que la he usado en las pruebas y me puede hacer algo complicado contraejemplo si compacidad no era de suponer. [Yo no siento que tengo una mejor comprensión acerca de que incluso ahora, sólo puedo decir que me acostumbré a ella, es decir, suponiendo que la compacidad, a continuación, las cosas buenas suceden.]

Las observaciones de la compacidad se aplican también a mí cuando yo primero aprender la condición de un anillo de ser Noetherian. De alguna manera la condición parece artificial a mí al principio, aunque después de acostumbrarse a él me sentía ejemplos de no-noetherian anillos están locos.

Y una cosa más, creo que una cosa que Hartshorne/EGA hacer temprana (nivel) de los lectores de confusión es que pasé mucho tiempo demostrando la finitud condiciones, como por ejemplo pushforward de una coherente gavilla es coherente, o la cohomology de una coherente gavilla de un adecuado esquema de más de Una es coherente a-módulo. Sólo se puede apreciar si él/ella es lo suficientemente sofisticado. (Si usted se acerca a probar estos teorema en su geometría algebraica clase, ¿cómo se puede motivar ellos y describir por qué la gente se preocupa de ellos?)

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Una pregunta relacionada, tal vez debería preguntar esto en un separado hilo, es que, ¿cómo podemos reconocer un buen finitud condiciones? Algunos son "fáciles", como la compacidad, y la generación finita. Pero algunos son difíciles, como la condición de un triangula la categoría de ser generado de forma compacta. Por el reconocimiento de buenas condiciones de finitud uno podría esperar para probar algunas buenas teorema, pero ¿cómo podemos saber si las condiciones son demasiado restrictivo, o no? (Supongo que esto requiere de mucho trabajo, pero ¿hay algún signo convincente de una buena condición antes de que uno se sumerge en los detalles?) Nadie aquí sabe la historia de compacidad (para espacios topológicos) y la coherencia (para la polea de módulos)? [A juzgar por el nombre, coherente poleas puede venir antes de cuasi coherente queridos.]

Por favor, re-etiqueta de la misma.

Answer 1

El hecho de que varios finitud las condiciones de llevar a buen teoremas que son manifiestamente falsas en su ausencia parece una buena explicación de por qué son importantes. (De hecho, estoy teniendo problemas con el pensamiento de una totalmente diferente tipo de explicación de por qué cualquier cosa en la matemática pura es importante.)

Creo que usted está en algo a la medida que necesitamos para dar contraejemplos y contraejemplos, junto con nuestros teoremas con el fin de dar a los estudiantes una oportunidad de luchar en la apreciación de ellos. En el ámbito de álgebra conmutativa, esto era algo que era notoriamente subestimado hasta hace relativamente poco: recuerdo bien Rota escrito acerca de la "higiene teoremas" [Rota, Indiscreta Pensamientos, páginas 215-216] en álgebra, por ejemplo, cosas como "regular de dominio es normal". Como él escribió, que no tienen ninguna posibilidad de comprender los resultados como este a menos vemos ejemplos, preferiblemente varias, de los dominios que no son regulares, no es normal, y lo normal, pero no regular. En este ejemplo en particular esto es fácil de hacer, pero por desgracia muchas de las principales contraejemplos en los que el sujeto tiene una reputación de ser demasiado difícil para mostrar los principiantes. En este momento siento la necesidad de citar directamente de la p. 136 de Reid de Pregrado Álgebra Conmutativa:

La frase de moda "contraejemplos debido a Akizuki, Nagata, Zariski, etc. son muy difíciles de tratar aquí" cuando se habla de cuestiones tales como la dimensión de Krull y de la cadena de condiciones para el primer ideales, y la finitud de la normalización es una tradición consagrada en álgebra conmutativa los libros de texto (comparable a la utilización de los fascistas cartas de $\mathfrak{P}$ e $\mathfrak{m}$ etc., para el primer y máximo ideales). Esto no ayuda a estimular el entusiasmo por el tema, y sólo desalienta al lector en un oscuro literatura; me discutir aquí tres contraejemplos (tomado, con algunas simplificaciones, desde el famoso "ilegible" apéndice a [Nagata]) para mostrar algunas de las ideas implicadas.

Esto es muy bien dicho (bueno, excepto que sinceramente, no sé lo que está mal con $\mathfrak{m}$...): la mayoría de los textos estándar en álgebra conmutativa dejar sin respuesta las preguntas natural una alerta lector tendrá: es esta hipótesis es necesario? es el recíproco de este resultado verdad? ¿Qué pasa si no se asume que el $M$ es un finitely módulo generado más de un Noetherian de dominio? y así sucesivamente.

Por casualidad acabo de terminar, es decir, dentro de la última media hora -- la enseñanza de un primer curso de postgrado en álgebra conmutativa. Traté de pasar un montón de tiempo en los ejemplos, y no tenía miedo a hacer "técnico" digresiones sobre lo que ocurre cuando $M$ no es un finitely generado....Especialmente me pasé un extra larga cantidad de tiempo en el módulo de teoría de preguntas, lo cual me hizo sentir más cerca del corazón de la materia. Es fácil motivar la necesidad de que los módulos se finitely generado: no hay una estructura teorema de finitely generado los módulos a través de un PID, pero no existe una estructura teorema infinitamente generado abelian grupos. El ejemplo de $\mathbb{Q}_p$ como $\mathbb{Z}_p$-módulo muestra que aún en un DVR infinitamente módulos generados pueden tener una estructura compleja. Luego, cuando llegué a Noetherian anillos me motivó, en parte, al mostrar que el Noetherian condición era equivalente a muchos aparentemente inocuo y propiedades deseables, como cada submódulo de un finitely generado módulo finitely generado. Al mismo tiempo, he discutido un montón de ejemplos de no-Noetherian anillos, incluyendo anillos que son muy agradables ", excepto que ellos no son Noetherian" como el anillo de todos los enteros algebraicos. Así que creo que me dio a mis alumnos al menos una oportunidad para sentir su camino alrededor de la finitud de las condiciones en el sujeto.

Permítanme añadir que hay algunos de los últimos textos que hacer un trabajo mucho mejor en este. La mayoría de todo lo que puedo recomiendo con entusiasmo T. Y. Lam Conferencias sobre los Módulos y Anillos. Como todos sus libros, su habilidad en el equilibrio de la teoría y los ejemplos es superior y muy agradable, estimulante de la lectura.

Esto va mucho la misma para la compacidad en el análisis elemental, pero parece más fácil para mí para el suministro de la necesaria contraejemplos: cada vez que encuentro un teorema que se mantiene en un intervalo compacto $[a,b]$, pregúntate si se tiene en noncompact intervalos (y, si procede, pacto de no-intervalos!). En todos los casos en que puedo pensar ahora, como contraejemplos son bien conocidos y relativamente fácil de suministro.

Answer 2

No sé si realmente tengo suficiente experiencia en las matemáticas para dar una profunda respuesta, pero hay algunas cosas que me gustaría mencionar aquí, ya que también he meditado mucho acerca de las preguntas de cuándo y por qué finitud condiciones son tan importantes.

Básicamente, la respuesta a la pregunta "¿por qué la finitud condiciones tan importante?" es muy, muy simple: Porque son los que hacen posible para hacer matemáticas. Una teoría matemática que trata de superar la natural finitud condiciones tiende a ser aislado y estrecho. En contraste, cuando se imponen las buenas condiciones de finitud, la teoría se convierte en rico, muy hermoso (que es, por supuesto, subjetiva). También "que la finitud condiciones" tiene una respuesta muy sencilla: Exactamente el que usted necesita para hacer la matemáticas que se desea desarrollar o, al menos, imaginar. No hay ninguna receta general para producir un buen finitud de la condición, excepto que se adapte mejor a su situación. He elegido la palabra "exactamente" con el fin de excluir demasiado restrictiva resp. fuerte finitud condiciones aquí. Por otro lado, no siempre tenemos que buscar el más general finitness condiciones, a menos que por alguna aplicación, realmente necesitamos más generales.

Por ejemplo, no hay nada de malo con Hartshorne del libro en la definición coherente de las poleas cuando nos limitamos a noetherian de los regímenes todo funciona muy bien. Pero si nos salta, algún día, a no noetherian esquemas, entonces tenemos que reconsiderar las nociones de "coherente", "finito de tipo", "finito de presentación", etc. En el afín caso, esto también motiva la definición de noetherian anillos: también estoy de acuerdo en que la definición que involucra el aumento de chaings de ideales podría no ser el más natural, pero lo que sobre el equivalente de uno que Pete ha mencionado: Cada submódulo de un módulo de finito tipo es, de nuevo finitos tipo. De hecho, exactamente esta propiedad es ofted necesario y tal vez ello ha motivado la definición de noetherian anillos. No ocultar las cadenas. Además, desde una perspectiva moderna, es una condición relativa, la cual habla acerca de los objetos "sobre" el anillo.

También es muy útil en la práctica (por ejemplo, cuando surjectivity trata de un argumento abstracto y la inyectividad simplemente no funciona): Un surjective endomorfismo de un noetherian anillo es una automorphism. Bien, espero que usted puede hacer una lista de miles de niza propiedades aquí. La observación de que esta propiedad illstruates que, a menudo, la finitud de la condición se utiliza para la conclusión de algo que no dice nada en absoluto acerca de la finitness. Otro ejemplo: Si $X$ es un compacto de espacio topológico, entonces para cada espacio topológico $Y$ el mapa de $X \times Y \to Y$ es un cerrado mapa. Pero por supuesto, esto encaja muy bien ya que en la prueba queremos usar un finito intersección de los subconjuntos abiertos, etc., y la definición de una topología con esta restringido intersección de la propiedad se basa nuevamente en ejemplos básicos de los cuales este concepto fue desarrollado. Así que esto encaja muy bien. También, la propiedad de arriba caracteriza espacios topológicos compactos y, probablemente, ha motivado la correspondiente noción de los esquemas propios de la geometría algebraica.

Algunos comentarios generales sobre la finitness: Uno de los más naturales objeto de nuestro universo matemático es el conjunto de los números naturales $\mathbb{N}$ (espero que nadie ya están aquí los objetos y quiere generalizar todo para regular los cardenales), y la más básica de la prueba que involucran números naturales es la inducción (por la definición de las $\mathbb{N}$ como el menor conjunto inductivo). Con el fin de utilizar la inducción en los más sofisticados situaciones, tenemos que dar a nuestros objetos matemáticos medida en $\mathbb{N}$, por ejemplo, la dimensión, la longitud, la profundidad, la altura, etc.. Uno de los más bellos y ejemplos básicos para esto es Grothendieck la fuga resultado en gavilla cohomology para finito dimensional espacios topológicos. Así que, básicamente, se introducirá en la complejidad del espacio topológico, que usted puede hacer para arbitrario de espacios topológicos.

Por último, tengo que admitir que mi opinión sobre la finitud de las condiciones que ha cambiado en los últimos meses. Durante años, he querido generalizar cada noción, teorema o incluso de la teoría con el fin de evitar todas las que ocurren finitud condiciones. Ver este MO pregunta para un ejemplo muy claro: ¿Qué acerca de la infinita tensor de productos de espacios vectoriales? Podemos escribirlas y probar algunas cosas básicas, pero al final no hay nada interesante que podemos hacer con ellos y no hay conexiones útiles o aplicaciones. Así que vamos a olvidar! :-) Lo mismo va para los sistemas que no son cuasi-separados (enlace, enlace).

Answer 3

Dos tipos de puntos, creo. (1) El conteo de dimensiones suele ser mucho más interesante para espacios vectoriales de dimensiones finitas que para el resto. (2) Donde las condiciones de finitud pueden eliminarse, como a menudo pueden hacerlo, puede operar un "principio de rendimientos decrecientes". Pero en este caso puede ser una cuestión de gustos. Hacer todo por espacios métricos separables, por ejemplo.

Answer 4

En general creo que, de hecho, usted está buscando en "pequeño" o "grande", en vez de finito vs infinito. En cada campo hay una idea diferente de lo que los pequeños medios: en la categoría de teoría, por ejemplo, tendemos a distinguir categorías con un conjunto de objetos en lugar de una clase. Para los colectores a menudo estamos buscando a sólo finito dimensionales de todos modos, por lo que nos preocupamos por la compacidad vs no-compacidad.

Pero lo más importante es que las pequeñas cosas se comportan de manera muy diferente de las cosas grandes, muy a menudo, porque podemos contar/clasificar las cosas pequeñas, pero no podemos las cosas grandes. Así que tratamos de mantenernos a la de los casos que conocemos y descartar las cosas que no, porque de lo contrario tenemos muy perdido.

Y como última nota quiero apuntar a la Eilenberg-Mazur estafa, lo que demuestra que infinitas sumas generalmente no son asociativos. Cosas raras suceden con infinity: $\infty+1=\infty=2\infty$, por ejemplo. Esto significa que para lidiar con infinita (grandes) cosas que tenemos diferentes herramientas de que cuando se trate de finito (pequeñas) cosas.

Answer 5

Usted puede pensar en la finitud condiciones desde otro punto de vista. Supongamos que usted tiene cierta categoría (es decir, Establecer o Superior) que han "agradable" objetos " y "patológico" de los objetos. Entonces, es natural preguntarse si existe una subcategoría ("menor") en el que cada conjunto es "agradable". De esa manera, si su único objetivo es el estudio de un único "bonito", el espacio que usted puede estudiar sus propiedades en la subcategoría y concluir algo acerca de uno más grande.

Para el estudio de "menor categoría" a que usted necesita para tener un poco de "agradable" propiedades, como ser cartesiano-cerrado o algo. De esa manera Comp es "agradable" subcategoría de la parte Superior donde se puede utilizar una gran cantidad de toopological construcciones.

Ahora suponga que desea para el estudio de Von-Neumann universo de todos los conjuntos. La única otra, "más pequeño" de von-neumann universo puede construir es el universo de heredetarily finito de conjuntos. De esa manera $H_\omega$ es un "buen" sub-universo de $V$ donde usted puede utilizar casi todas las construcciones fro mset teoría (el único axioma que no es cierto en $H_\omega$ es el axioma del infinito).

Pero la pregunta original fue dicho, no en la forma "por Qué "nice" propiedades son importantes", pero "¿por qué la finitud condiciones son importantes". Dado que una respuesta a la primera pregunta es mucho más comprensible, podemos decir que la finitud condiciones son importantes porque todos los conocidos de "nice" condiciones de finitud en la naturaleza.

Así , por ejemplo después de "nice" afección en la parte Superior que no se parece a la finitud de la condición es de hecho equivalente a la compacidad:

$X$ es "agradable" iff para cada espacio topológico Y proyección de $X\times Y\to Y$ es cerrado.

Esta situación ("nice" las condiciones son hiddenly "finitud"), porque casi todas las categorías de estudio se establecen-como, por lo que da un "buen" sub-universo en conjunto-como categoría podemos la construcción de un inducida "agradable" sub-universo de Von-Neumann universo $V$ y el solo no trivial de von-neumann universo es, precisamente,$H_\omega$.

Así, la finitud condiciones son importantes porque cada regularidad de la propiedad en conjunto-al igual que la categoría surge de una refularity de la propiedad en el universo de los conjuntos de $V$, y en el "mejor" de la regularidad de la propiedad en $V$ es una condición de ser hereditariamente finitos, por lo que cualquier buena regularidad de la propiedad es esentially una finitud de la condición.

También tenga en cuenta, que la mayoría de la finitud las condiciones son realmente "heredetarily finitud", ellos son usualy heredado por la suma de sub-objetos.