Clases de conjugación de$\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$

Question

Me preguntaba si hay alguna descripción conocida para las clases de conjugación de $$\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})=\{A\in \mathrm{GL}_2(\mathbb{Z})|\;\;|\det(A)|=1\}.$$ I was not able to find anything about this. Most references only give solutions for $ \ mathrm {SL} _2 (\ mathbb {R}) $ .

Gracias por tu ayuda.

Answer 1

Se puede proceder como sigue para $SL_2(\mathbb{Z})$.

1. En primer lugar, el seguimiento es un conjugacy invariante.
2. Para trazar $0$ hay dos clases conjugacy representado por $\pmatrix{0 & 1 \\ -1 & 0}$ e $\pmatrix{0 & -1 \\ 1 & 0}$. Estos representantes pueden ser considerados como $90^\circ$ e $270^{\circ}$ grado de rotaciones de un entramado generado por las esquinas de un cuadrado centrado en el origen.
3. Para trazar $1$ e $-1$ hay dos clases conjugacy cada una, representadas por las matrices $$M=\pmatrix{1 & -1 \\ 1 & 0}, M^2=\pmatrix{0 & 1 \\ -1 & -1}, M^4=\pmatrix{-1 & 1 \\ -1 & 0}, M^5 = \pmatrix{0 & -1 \\ 1 & 1} $$ Estos representantes pueden ser considerados como $60^\circ$, $120^\circ$, $240^\circ$, e $300^\circ$ grado de rotaciones de un entramado generado por los vértices de un hexágono regular centrado en el origen.
4. Para trazar $2$ hay un $\mathbb{Z}$-indexado de la familia de las clases conjugacy, representado por $\pmatrix{1 & n \\ 0 & 1}$; todos estos son "cortante" transformaciones excepto para la identidad. Para trazar $-2$ es similar $\mathbb{Z}$-indexado de la familia de las clases conjugacy representado por $\pmatrix{-1 & n \\ 0 & -1}$.
5. En general, para un valor distinto de cero traza las clases conjugacy vienen en pares opuestos, representados por una matriz de $M$ con traza $t>0$ y un opuesto representante de $-M$ con traza $-t<0$.
6. Para el seguimiento de valor absoluto $> 2$, hay una clase conjugacy para cada palabra de la forma $$R^{j_1 L}^{k_1} R^{j_2 L}^{k_2} \cdots R^{j_I L}^{k_I} $$ hasta cíclico conjugacy, donde $I \ge 1$ y todos los exponentes son enteros positivos. Una matriz que representa esta forma se obtiene a partir de la anterior palabra haciendo los reemplazos $$R=\pmatrix{1 & 1 \\ 0 & 1}, \quad L=\pmatrix{1 & 0 \\ 1 & 1} $$ Estos son todos los "hiperbólico" transformaciones, teniendo independiente par de real vectores propios. La pendiente de la expansión del vector propio es una ecuación cuadrática irracional, y por lo tanto tiene, finalmente, la repetición continua de la fracción de expansión. La secuencia cíclica $(j_1,k_1,j_2,k_2,\ldots,j_I,k_I)$ puede ser considerado como la base fundamental de la repetición de parte de la continuación de la fracción de expansión de la pendiente de la expansión del vector propio, o, mejor, como una alimentación adecuada fundamentales de la repetición de la porción donde la potencia es igual al exponente de la matriz dada.

El número de los teóricos de decirle que el número de clases conjugacy de cada traza $t>2$ está estrechamente relacionado con el número de clase de la número de campo generadas por $\sqrt{t^2-4}$.

Answer 2

Este es el tema de la teoría de la reducción de Gauss, como se discute en el libro de Karpenkov (entre muchos otros lugares). En este artículo de 2007, Karpenkov también extiende el método a$SL(n, \mathbb{Z}).$

Answer 3

Las clases de conjugación de elementos de${\rm SL}(2,\mathbb{Z})$ con traza dada se cuentan en:

S. Chowla, J. Cowles y M. Cowles: sobre el número de clases de conjugación en SL (2, Z) . Journal of Number Theory 12 (1980), Número 3, páginas 372-377.