Grupos de esferas de homotopía en un$(\infty, 1)$ - topos

Question

Deje $H$ ser $(\infty,1)$-topos (visto como una generalización de la homotopy categoría de espacios).

Usted puede definir la suspensión de un objeto $X$ como el (homotopy) pushout de $*\leftarrow X \to *$, por lo tanto se puede definir de forma inductiva de las esferas $\mathbb{S}^n$ (la esfera de dimensión $-1$ es el objeto inicial de $H$ y la esfera de la dimensión $n+1$ es la suspensión de la esfera de la dimensión $n$).

También puede definir el bucle espacios de un objeto puntiagudo como el (homotopy) la retirada de $*\to X \leftarrow *$. Será el mismo señalado (porque es evidente que existe una conmutativo el diagrama con un $1$ en lugar de $\Omega{}X$, por lo que hay (creo) una flecha entre esta $1$ e $\Omega{}X$).

Entonces, dados dos enteros $n, k$, se puede definir $\pi_k(\mathbb{S}^n)$ como el conjunto de componentes conectados (elementos globales hasta homotopy) de la $k$veces bucle espacio de la $n$-esfera (no sé si esta definición es uno de los dos se describe en el nlab)

Hay un grupo natural de la estructura en $\pi_k(\mathbb{S}^n)$?

Hay algo que se conoce acerca de estos grupos en general?

Por ejemplo,

• Son completamente conocidos por algunos $H$?
• Es cierto siempre que $\pi_k(\mathbb{S}^n)$ es trivial para $k<n$ y isomorfo a $\mathbb{Z}$ para $k=n$?
• Son isomorfos (o relacionados de alguna manera) a la habitual homotopy grupos de esferas?

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Además:

Lo que si se supone que $H$ es un cohesivo $(\infty,1)$-topos? (ver aquí para la nLab página)

Answer 1

• Si $H$ es la terminal de la categoría (=gavillas en el espacio vacío), a continuación, $\pi_k^HS^n$ (notación para homotopy grupos de "esferas" en $H$) es conocido!

• El sector de la categoría $H=\mathrm{Spaces}/B$ es $(\infty,1)$-topos. El homotopy grupos de esferas en este ajuste de la cantidad a la homotopy grupos del espacio $\mathrm{map}(B,S^n)$ de unbased mapas (con punto de base en un constante mapa de $B\to S^n$). Esto demuestra que $\pi_k^HS^n$ no necesita ser trivial si $k<n$. Esto también proporciona no trivial ejemplos en los que se $\pi_k^HS^n$ es isomorfo a la "costumbre" homotopy grupos de esferas (por ejemplo, si $B=BG$ para $G$ un grupo finito, por Miller del teorema.)

• Si $f: H\to H'$ es un geométrica de morfismos, entonces el pullback functor $f^*: H'\to H$ induce un homomorphism $\pi_k^{H'}(S^n)\to \pi_k^{H}(S^n)$. En particular, si $H$ tiene un punto (un geométrica de morfismos $\mathrm{Spaces}\to H$), a continuación, $\pi_kS^n$ es un sumando de $\pi_k^HS^n$.

Edit. Como yo lo entiendo, si $H$ es cohesivo, a continuación, $p^\*: \mathrm{Spaces} \to H$ se supone que para ser plenamente fieles, donde $p:H\to\mathrm{Spaces}$ es el único geométrica de morfismos. Las esferas están en la imagen de $p^\*$, por lo que debe seguir que ese $\pi_k^H S^n = \pi_kS^n$. El único ejemplo de cohesión en el topos entiendo es $H=s\mathrm{Spaces}$ (simplicial espacios), y sin duda es cierto en este caso.

Answer 2

Porque Carlos ya ha contestado (increíblemente bien!) sus otras preguntas, yo sólo voy a responder a su pregunta acerca de un grupo natural de la estructura. Mi respuesta es en realidad sólo una elaboración de Sam comentario.

Como Sam señaló, de hecho hay un $E_k$ estructura en el espacio de todos los mapas $\{ * \to \Omega^k S^n\}$; voy a ilustrar esto en un momento. Pero, a continuación, por la costumbre Eckman-Hilton argumento (o dibujos), $\pi_0$ de este espacio tendrá la estructura de un grupo para $k\geq 1$, y de un conmutativa grupo para $k \geq 2$. El hecho de que nos estamos llevando $S^n$ no es tan importante aquí, es cierto para cualquier objeto $X$.

En lo que sigue, voy a dejar de $H(A,B)$ denotar el espacio de morfismos de $A$ a $B$ en la $\infty$categoría $H$. En particular, cuando se $A=\ast$ obtenemos el espacio de los elementos globales de $B$.

Por la característica universal de pullbacks, un mapa de $\ast \to \Omega X$ es el mismo que el de un homotopy coherente mapa de $\ast$ con el diagrama de $D := \ast \to X \leftarrow \ast$. Sin pérdida de generalidad podemos suponer que los dos mapas de $\ast \to X$ en $D$ son el mismo mapa. Elegimos este es el punto de base en el espacio de los mapas de $H(\ast,X)$.

A continuación, un mapa de $\ast$ con el diagrama de $D$ es precisamente un bucle en el Hom-espacio de $H(\ast,X)$. (Esta es la clave de observación--se desprende fácilmente de la definición de los Hom Kan complejo en un $\infty$-categoría, si así lo desea). En otras palabras, $$ H(\ast,\Omega X) \cong \Omega H(\ast,X) $$ donde $\Omega$ en el lado derecho significa en realidad la base de bucle espacio, en el sentido habitual de la topología. Por inducción, el espacio de los elementos globales de $\Omega^k X$ tiene la estructura de un $k$veces bucle espacio. Y hemos terminado.

Answer 3

Si puede ser perdonado para resucitar una vieja pregunta, vale la pena señalar que estos son no el "homotopy grupos de esferas" que aparecen en sintético homotopy teoría / homotopy tipo de teoría. Esos son internas de los objetos de grupo en la $\infty$-topos, no externo "ordinario" de los grupos. Así, en particular, sigue siendo cierto que "$\pi_1(S^1)=\mathbb{Z}$" en la terminal de categoría, debido a que ambos "$\pi_1(S^1)$" y "$\mathbb{Z}$" denotan una (o más bien el) objeto de la terminal de categoría y, por tanto, son iguales --- es irrelevante que en ese caso esta interna $\mathbb{Z}$ no tiene externos $\mathbb{Z}$, su conjunto de elementos globales. Del mismo modo, en $\infty Gpd^A$ para un conjunto $A$, tenemos "$\pi_1(S^1)=\mathbb{Z}$", pero el objeto interno $\mathbb{Z}$ tiene el grupo externo $\mathbb{Z}^A$, su conjunto de elementos globales.

No es una conjetura que internamente todos los homotopy grupos de esferas siempre son isomorfos a los clásicos. Esto es todavía abierto (de hecho el significado de "siempre" aún no se ha formulado precisamente), pero parece ser cierto para todos los Grothendieck $\infty$-toposes, porque inversa de la imagen functors preservar esferas, bucle de espacios, truncamientos, y la construcción de determinados finitely presentado abelian grupos.

Answer 4

En el ordinario homotopy categoría, la de los grupos de $A_k^n=\pi_k(S^n)/(\text{odd torsion})$ están vinculados por el EHP secuencia exacta $$ A_k^n \xrightarrow{E} A_{k+1}^{n+1} \xrightarrow{H} A_{k+1}^{2n+1} \xrightarrow{P} A^n_{k-1} $$ No es difícil mostrar que si $A$ e $B$ son dos bigraded grupos que cada uno tienen un EHP secuencia, y $f\colon A\to B$ es una de morfismos que es compatible con la EHP mapas, y $f\colon A^1_1\to B^1_1$ es un isomorfismo, entonces $f\colon A\to B$ es un isomorfismo. (Tal vez necesitamos el borde de la condición de $A_k^1=B_k^1=0$ para $k>1$ también). Hay una similar, pero más complejo de la historia de los números primos impares. Por lo tanto, una cuestión central es si se puede definir un EHP secuencia en cualquier $(\infty,1)$ topos. Estrechamente relacionadas con la cuestión es si se puede definir un EHP secuencia en cualquier modelo de homotopy tipo de teoría; no estoy seguro acerca de la relación exacta entre estas dos formulaciones. Ingredientes clave incluyen

• El James construcción
• Homología de grupos
• Algunos teoría general de la fibrations
• El teorema de Whitehead, que la homología de las equivalencias entre simplemente espacios conectados inducir isomorphisms de homotopy grupos.

Creo que los tres primeros de estos están disponibles en homotopy tipo de teoría, pero la última no lo es. Sin embargo, uno sólo necesita algunos casos específicos del teorema de Whitehead, y que estos pueden tener, incluso si el resultado general no.