Lo poco de historia que tengo en esta área es probablemente anticuado, pero puedo compartir algunos pensamientos. El índice de "teorema", a la que Hopkins era más probable refiriéndose fue en Witten, de 1987, del papel que El Índice del Operador de Dirac En Bucle Espacio. Witten la idea fue aplicar Atiyah y Cantante equivariant índice el teorema de la acción natural de la $S^1$ en el bucle en el espacio de un colector. Esto no es estrictamente hablando sentido ya que el bucle espacio de infinitas dimensiones, pero sin embargo él hizo un cálculo formal que en términos generales se dio los resultados que uno podría esperar de cálculos similares en otros lugares de la física matemática. Él encontró que el índice de la "bucle espacio operador de Dirac" es lo que ahora llamamos el Witten género, un género en el sentido de Hirzebruch.
Esto provocó una gran cantidad de trabajo matemático para tratar adecuadamente el sentido de Witten de la computación, y a la mejor de mis conocimientos matemáticos no han logrado todavía. Pero hay una rica y sugerente colección de analogías (que se alude en David Roberts comentario), algunos de los cuales han sido precisos:
- KO-teoría del espectro de $\leftrightarrow$ tmf espectro
- Spin estructura $\leftrightarrow$ estructura de la Cadena
- Spinor operador de Dirac $\leftrightarrow$ Bucle espacio operador de Dirac (??)
- Índice de Dirac operador $\leftrightarrow$ la dualidad de Poincaré de emparejamiento en emf
- $\hat{A}$-género $\leftrightarrow$ Witten género
Mucho de esto está resuelto: el tmf espectro ha sido construido en diferentes maneras, y es sabido que la cadena estructuras son la noción de derecho de la orientación en tmf sólo como un spin estructuras son orientaciones en KO-homología. Hay varias construcciones que merece ser llamado un bucle espacio de Dirac operador (por ejemplo aquí), y hay un montón de fuertes analogías entre el $\hat{A}$-género y la universidad de Witten género - que es más o menos el punto de la Hopkins papel vinculado a la pregunta original, por ejemplo.
Otros pueden me corrija si estoy equivocado, pero creo que la gran diferencia se encuentra en el punto 4 anterior: la analogía entre el índice de la teoría y la dualidad de Poincaré para tmf. En el índice tradicional de la teoría de esta analogía se hace posible por el hecho de que no son buenos modelos analíticos de la KO-teoría de la espectro - con la participación de espacios de operadores de Fredholm, dicen - pero no estoy seguro de que hay modelos similares para tmf. Toma un poco de trabajo para demostrar que el spinor operador de Dirac da el KO-clase fundamental, pero con un buen modelo para el espectro es "sólo" un análisis del problema. Estoy de ninguna manera tmf experto, pero mi impresión es que todavía es muy difícil describir explícitamente (co)homología de clases en el TMF grupos de un colector.
Un candidato prometedor para este es el Stolz-Teichner programa que se propone construir generalizada (co)homología de teorías como espacios de supersimétricas topológico campo de las teorías (hasta concordancia). Ellos fueron capaces de construir ordinario cohomology y K-teoría utilizando 0/1 y 1/1 TFT s, respectivamente, y hay buena evidencia de que 2/1 TFT podría dar TMF clases, pero no creo que esto ha sido probado rigurosamente.
