Caracterización de objetos matemáticos específicos "concretos" mediante propiedades generales abstractas

Question

En este nota por Tom Leinster el espacio de Banach $\mathrm{L}^1[0,1]$ es recuperado por el "sinsentido abstracto" como objeto inicial de una cierta categoría de espacios de Banach (decorados). Así que un espacio de funciones, que habitualmente se definiría mediante la maquinaria de la medida de Lebesgue y la integración, se describe de forma única (hasta el isomorfismo) en términos de análisis funcional abstracto y un poco de teoría de categorías.

Tendría curiosidad por ver más resultados, idealmente en diversas áreas de las matemáticas, en el espíritu del anterior, en el que un familiar y importante El objeto matemático "concreto" se recupera por una propiedad universal (en el sentido técnico categórico) o -más generalmente- por una propiedad caracterizadora que es abstracta y general o no profundiza en la definición habitual "concreta" de ese objeto.

Wiki de la comunidad, así que pon un artículo por respuesta, por favor.

Answer 1

La compactación Stone-Cech. Ni Stone ni Cech pensaban en la teoría de categorías en ese momento (ya que no existía), pero por supuesto la compactificación de Stone-Cech es un adjunto a la izquierda del functor olvidadizo de espacios compactos de Hausdorff a espacios completamente regulares de Hausdorff.

Si la construcción general no es lo suficientemente específica, entonces limite mi respuesta a $\beta \mathbb N$ que es un objeto clave en la teoría de Ramsey.

Answer 2

La línea real como "el' campo ordenado completo de Arquímedes, en contraposición a un montón de cortes de Dedekind.

Answer 3

La categoría $Set$ de conjuntos es, hasta la equivalencia, la única categoría localmente pequeña $C$ cuya incrustación de Yoneda $y: C \to Set^{C^{op}}$ admite una serie de funtores adjuntos

$$u \dashv v \dashv w \dashv x \dashv y.$$

Se da un tratamiento preciso aquí .

Answer 4

Mi impresión es que la mayoría, si no todos, los ''objetos naturales'' del álgebra lineal, el análisis o la geometría diferencial, ..., se caracterizan útilmente por alguna \emph propiedad {simetría}, por ejemplo

La derivada exterior es, hasta un múltiplo constante, el único operador lineal de $k$ -forma a $k+1$ -tales que para cada incrustación abierta $f:U \to M$ y cada forma $\omega \in \Omega^k (M)$ La identidad $f^{\ast} d \omega = d (f^{\ast}\omega)$ se mantiene".

Answer 5

Probablemente, Johannes Ebert tiene razón: (casi) todos los objetos matemáticos naturales pueden ser caracterizados por una propiedad universal. La cuestión es ahora qué entendemos exactamente por el hecho de que la propiedad universal se adentra en la definición concreta habitual.

Más concretamente, consideremos la definición habitual de una estructura factorial, digamos un grupo de factores (de $G$ modulo un subgrupo normal $H$ ). También hay una universal: Un grupo factorial es (hasta un isomorfismo) un epimorfismo (es decir, un homomorfismo de grupo sobreyectivo) $G\to G'$ . ¿La segunda definición profundiza en la primera? Realmente no lo sé.

Otro ejemplo: Tener dos $R$ -módulos, $M$ de la derecha y $N$ de la izquierda, se puede definir el producto tensorial como un factor del grupo abeliano libre con la base el producto carteziano $M\times N$ modulo las relaciones que enfatizan la bilinealidad. En segundo lugar, podemos definir el tensor $M\otimes_R-$ como el adjunto derecho del functor $Hom_R(M,-)$ definición que puede ampliarse para $M$ en una categoría abeliana cocompleta. Esta vez, la posibilidad de cambiar las configuraciones que conducen a una definición más general se erige como un argumento de que la definición universal no está ahondando en la habitual.