"El número $\frac 16 \pi^2$ resulta sorprendentemente a menudo y con frecuencia en los lugares más inesperados." - Julian Havil, Gamma: la Exploración Constante de Euler.
Es bien conocido, sobre todo, en 'pop matemáticas,' que $$\zeta(2)=\frac1{1^2}+\frac1{2^2}+\frac1{3^2}+\cdots = \frac{\pi^2}{6}.$$ Euler prueba de que es bastante agradable. Me gustaría saber donde mas esta constante aparece no trivialmente. Esto es un poco amplio, así que aquí están los detalles de mi pregunta:
- Podemos jugar con la función zeta de forma arbitraria, incluso valores enteros para eek a cabo una $\zeta(2)$. Me gustaría considerar estos 'apariciones' de $\frac 16 \pi^2$ a ser redundante y pedir que no se menciona a menos que tenga algo de maldad razón de peso para incluir.
- Por 'no trivialmente,' me refiero a que no quiero que la convergencia de series, integrales, etc. donde es evidente que $c\pi$ o $c\pi^2$ con $c \in \mathbb{Q}$ puede ser simplemente "deja fuera" de cierta manera tal que se parece a $c\pi^2$ fue incluido después de los hechos a fin de que dicha serie, integral, etc. sería igual a $\frac 16 \pi^2$. Por ejemplo, $\sum \frac{\pi^2}{6\cdot2^n} = \frac 16 \pi^2$, pero, evidentemente, la aparición de $\frac 16\pi^2$ aquí es artificial. (Pero, si usted tiene una respuesta que me parece muy interesante, pero no está seguro de si se ajusta a la "no-trivial' proyecto de ley, tenga en cuenta que en realidad nadie se detenga a partir de la publicación de la misma.)
Espero que este sea lo suficientemente específico. Este fue mi intento formalmente diciendo: "yo quiero ver todas las diversas maneras en que podemos hacer de $\frac 16 \pi^2$.' Con todo lo que se dijo, voy a dar mi ejemplo favorito como una respuesta de abajo! :$)$
En respuesta a esta pregunta está cerrado: esto es no un duplicado de este post. No entiendo cómo 'la apariencia natural de $\pi$' podría ser pensado como un duplicado de 'la apariencia natural de $\frac16 \pi^2$.' Los dos son no de la misma. La mayoría de las respuestas a los post que he enlazado, no soy de aquí (y no son publicados aquí), como queda de manifiesto anteriormente en el esquema de lo que yo estoy buscando específicamente. Del mismo modo, las respuestas a esta pregunta son más adecuadas como 'ejemplos de $\frac 16 \pi^2$ que aparecen de forma natural' de 'ejemplos de $\pi$ que aparecen de forma natural.'
Voy a copiar y pegar mi comentario de abajo en respuesta a otro usuario que le preguntó si esta pregunta no fue similar a la que se ha enlazado:
Creo que la 'apariencia natural' de $\pi$ son significativamente diferentes de la apariencia natural de $\pi^2$. Usted podría plaza de las soluciones dadas a la pregunta que se enlace, a pesar de que había apenas soluciones convincentes a esta pregunta. Por ejemplo, $$\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} dx= \sqrt{\pi}$$ es sin duda una respuesta adecuada a la pregunta que te he enlazado, pero $$\frac{\left ( \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} dx \right )^4}6= \frac{\pi^2}6$$ no pertenece aquí, ya que es claramente un caso de la constante que aparece 'trivialmente.' Asimismo, muchas de las respuestas que han colocado a este (mi) pregunta mejor publicado aquí, como ejemplos de $\pi^2$ que aparecen de forma natural, que allí, como ejemplos de $\pi$ que aparecen de forma natural. Las dos preguntas son distintas.
Respuestas
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Inesperado a primera vista es $$2\sum_{m\ge1}\sum_{n\ge1}\frac{(-1)^n}{n^3}\sin(\tfrac{n}{m^{2k}})=\frac{1}{6}\zeta(6k)-\frac{\pi^2}{6}\zeta(2k).$$ Una generalización puede ser encontrado aquí.
Quizás lo más inesperado es $$\sqrt3 \int_0^\infty \frac{\arctan x}{x^2+x+1} \, dx=\frac{\pi^2}{6},$$ que está probado aquí.
Mejor es $$\frac1{12}\int_0^{2\pi}\frac{x\,dx}{\phi-\cos^2 x}=\frac{\pi^2}6,$$ que puede ser visto aquí. Aquí $\phi=\frac{1+\sqrt5}2$ es la proporción áurea.
Un agradable logarítmica integral es $$\frac83\int_1^{1+\sqrt2}\frac{\ln x}{x^2-1}dx=\frac{\pi^2}6-\frac23\ln^2(1+\sqrt2),$$ probado aquí.
Otra buena trigonométricas integral: $$2\int_0^{\pi/2}\cot^{-1}\sqrt{1+\csc x}\, dx=\frac{\pi^2}{6},$$ a partir de aquí.
Edit: como se ha indicado en los comentarios de esta respuesta, es la $\pi^2$ que cuenta, a pesar de la onu a escala de la evaluación de las integrales a $\pi^2/6$ son los mejores. Con esto en mente, les presento una bonita $\zeta$-cociente integral que involucra $\pi^2$: $$\int_0^\infty \left(\frac{\tanh(x)}{x^3}-\frac{1}{x^2\cosh^2(x)}\right)\, dx=\frac{7\zeta(3)}{\pi^2}=\frac{7\zeta(3)}{6\zeta(2)},$$ se muestra aquí.
Acabo de derivados otra identidad: $$\int_0^\infty\frac{(x^2+1)\arctan x}{x^4+\tfrac14x^2+1}dx=\frac{\pi^2}{6}.$$ Desde que me acabo de encontrar esta identidad del yo presente la prueba. En el enlace que he proporcionado después de la segunda identidad se muestra que $$f(a)=\int_0^\infty \frac{\arctan x}{x^2+2ax+1}dx=\frac{\pi}{4\sqrt{1-a^2}}\left(\frac\pi2-\phi(a)\right)\qquad |a|<1$$ donde $\phi(a)=\arctan\frac{a}{\sqrt{1-a^2}}$. En primer lugar, observe que $\phi(-a)=-\phi(a)$. Así $$j(a)=\frac12(f(a)+f(-a))=\int_0^\infty\frac{(x^2+1)\arctan x}{x^4+2(1-2a^2)x^2+1}dx=\frac{\pi^2}{8\sqrt{1-a^2}}.$$ Por lo tanto $$j(\sqrt{7}/4)=\int_0^\infty\frac{(x^2+1)\arctan x}{x^4+\tfrac14x^2+1}dx=\frac{\pi^2}{6}.$$
Esperar más de niza ejemplos como deduzco de los mejores.
Problema 11953 de AMM (enero de 2017) pidió para la evaluación de la siguiente integral doble cuyo valor resulta ser igual a $\frac{\pi^2}{6}$. $$\int_0^\infty \!\!\!\int_0^\infty \frac{\sin x \sin y \sin (x + y)}{xy(x + y)} \, dx \, dy = \frac{\pi^2}{6}.$$
Problema 2074 de Matemáticas de la Revista (junio de 2019) solicitó la siguiente evaluación de un límite de una suma cuyo valor resulta ser igual a $\frac{\pi^2}{6}$. $$\lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^n \frac{(-1)^{k + 1}}{k} \binom{n}{k} H_k = \frac{\pi^2}{6}.$$ Aquí $H_n = \sum_{k = 1}^n \frac{1}{k}$ indica el $n$ésimo número Armónico.
Y aquí hay un par de sumas: $$\sum_{n = 1}^\infty \frac{H_n}{n2^{n - 1}} = \frac{\pi^2}{6}.$$
$$\frac{3}{2} \sum_{n = 0}^\infty \left (\frac{1}{(6n + 1)^2} + \frac{1}{(6n + 5)^2} \right ) = \frac{\pi^2}{6}.$$ y $$\sum_{n = 1}^\infty \frac{3}{n^2 \binom{2n}{n}} = \frac{\pi^2}{6}.$$
