Buscando una buena aproximación de la $n^{th}$ positivo de la raíz de la ecuación $$\color{blue}{\tan(x)=k x}$$ As already done many times, I expanded as Taylor series around $x=(2n+1)\frac \pi 2$ y se utiliza la serie de reversión.
Como resultado, esta escritura $$\color{blue}{x=q-\sum _{m=1}^{\infty }\frac{P_{m}(k) }{a_m } \frac 1 {(kq)^{2 m-1}}}\qquad \text{where}\qquad \color{blue}{q=(2n+1)\frac \pi 2}$$
Respecto de la $a_m$, la primera son los términos de $\{1,3,15,105,315,3465\}$; esta es la secuencia de $A088989$ en $OEIS$ y que bien corresponden a los denominadores de los coeficientes de potencias impares de $\frac 1q$ en las series de solución de la ecuación de $k=1$.
Sobre los polinomios $P_{m}(k)$, la primera se enumeran a continuación $$\left( \begin{array}{cc} m & P_{m}(k) \\ 1 & 1 \\ 2 & 3 k-1 \\ 3 & 30 k^2-20 k+3 \\ 4 & 525 k^3-525 k^2+161 k-15 \\ 5 & 4410 k^4-5880 k^3+2744 k^2-528 k+35 \\ 6 & 145530 k^5-242550 k^4+152460 k^3-44990 k^2+6193 k-315 \end{array} \right)$$
Incluso trunca a seis términos, esto proporciona bastante buenas estimaciones para la primera solución $$\left( \begin{array}{ccc} k & \text{estimate} & \text{solution} \\ 0.5 & 4.27478222835695 & 4.27478227145813 \\ 1.0 & 4.49340947613302 & 4.49340945790907 \\ 1.5 & 4.56745216948297 & 4.56745216641733 \\ 2.0 & 4.60421677783123 & 4.60421677720058 \\ 2.5 & 4.62613829114934 & 4.62613829098161 \\ 3.0 & 4.64068363082997 & 4.64068363077555 \\ 3.5 & 4.65103583026074 & 4.65103583024022 \\ 4.0 & 4.65877826296638 & 4.65877826295768 \\ 4.5 & 4.66478672978692 & 4.66478672978287 \\ 5.0 & 4.66958478090799 & 4.66958478090596 \end{array} \right)$$
Podría el anterior polinomios ser identificado ?
