¿Por qué aparecen las álgebras de Lie, desde un punto de vista categórico?

Question

Los grupos aparecen como grupos de automorfismo en cualquier categoría.

Los anillos aparecen como anillos de endomorfismo en cualquier categoría de aditivos.

¿Hay una manera similar de adjuntar un álgebra de Lie a un objeto en una categoría de un determinado tipo? ¿Tal vez incluso tal que el apego de un álgebra de Lie a un grupo de Lie se convierta en un caso especial?

Y sí, he buscado las respuestas a ¿Por qué estudiar álgebras de mentiras? .

Answer 1

La categoría de álgebras de Lie es equivalente a una categoría determinada de cocommutative álgebras de Hopf, con la equivalencia dada por el envío de una Mentira álgebra $\mathfrak{g}$ a su universal que envuelve álgebra $U(\mathfrak{g})$. Estos cocommutative álgebras de Hopf a su vez puede ser considerado como grupo de objetos de una determinada categoría de cocommutative coalgebras, y por lo tanto potencialmente pueden pop-up como automorphism objetos en cualquier categoría enriqueció a lo largo de cocommutative coalgebras.

Se podría objetar que no sabes nada interesantes ejemplos de tales categorías, pero en realidad lo que hacen: la categoría de álgebras conmutativas admite un enriquecimiento (ver el nLab), y esta es una manera abstracta, a ver qué Mentir álgebras puede actuar sobre álgebras conmutativas (por derivación).

Hablando filosóficamente, usted debe esperar a ser capaz de extraer las álgebras de Lie de cualquier situación en la que usted puede cocinar una sensata de la noción de infinitesimal automorphism o más generalmente un elemento infinitesimal de algún grupo. Enriquecer más de cocommutative coalgebras le da bastante general de la manera de hacerlo; si $X$ es un objeto en su categoría y $\text{End}(X)$ es el cocommutative bialgebra de endomorphisms de $X$, entonces los elementos primitivos de $\text{End}(X)$ (las satisfacciones $\Delta X = 1 \otimes X + X \otimes 1$ donde $1 = \text{id}_X \in \text{End}(X)$) debe ser considerado como el infinitesimal endomorphisms de $X$, y, de hecho, estos, naturalmente, forman un álgebra de la Mentira bajo el colector de soporte.

Answer 2

Álgebras de Lie son equivalentes a los grupos internos "infinitesimal, geometría".

Por ejemplo, cuando se formalizó en un topos de sintético de la geometría diferencial , a continuación, una Mentira álgebra de Lie del grupo es sólo el primer orden infinitesimal barrio de la unidad de elemento (por ejemplo, Kock 09, sección 6).

Más en general, para geométricas homotopy teoría, álgebras de Lie, siendo 0-truncado L-∞ álgebras son equivalentemente,"infinitesimal ∞-grupo geométrica ∞-pilas", también llamado formal módulos de problemas (Lurie). Vea el enlace para punteros a la prueba de la equivalencia, también (Pridham 07).