Si estiro un polígono convexo, ¿encaja el original en la versión estirada?

Question

Suponga que tiene un polígono convexo $P=\mathrm{conv}(\{(x_1,y_1),\dots, (x_k,y_k)\})$ y estirarla en una dimensión, es decir, elegimos $\alpha>1$ y conseguir un nuevo polígono $P^\alpha=\mathrm{conv}(\{(\alpha x_1,y_1),\dots, (\alpha x_k,y_k)\})$.

Es cierto que se puede traducir y rotar $P$ a que se ajuste a $P^\alpha$?

Esto parece verdad para mí, ya que de alguna manera lo que es más grande y "mantener la forma", pero yo no tengo ningún conocimiento adicional sobre cómo se podría probar tal cosa.

Answer 1

Creo que este hipothesis no es cierto.

Con una simple transformación, podemos hacer el tramo en dirección paralela al eje X. Así que, yo dibuje dos consecutivos bordes $A,B,C$ de un polígono convexo, digamos que están en el "norte", y hacer un X-escala para obtener $D,E,F$:

Como se puede ver, el original de la $ABC$ debe ser traducido a $UEV$, por una distancia horizontal $BE=d=\alpha·B_x-B_x=(\alpha-1)B_x$. También debe ser girado para $U,V$ ser interior a $DEF$

El problema surge cuando se quiere aplicar la misma traducción para el resto de los vértices.

$BE$ debe ser la distancia más grande de todos los posibles-aplica las traducciones, de lo contrario otros vértices se encuentran fuera de la estirada del polígono. Esto en sí mismo no parece un gran problema, sólo tienes que elegir el más grande. Pero puede ser que la distancia elegida es "$d_{max}>>d$; en este caso la traducción de $B$ con $d_{max}$ va a hacer que se caiga en el extremo de la derecha de $E=\alpha·B$

Para hacer las cosas peor, cada traducción tiene asociada una rotación. La probabilidad de cualquier $translation, rotation$ par de módulos para un vértice, para que sea válido para todo el polígono es muy bajo, cero en general.

También es obvio que hay casos en los que un par puede ser obtenido. Por ejemplo, el triángulo en la imagen de arriba.