¿Existe una teoría general de los teoremas de fibra?

Question

Aquí hay tres vagos teoremas enrollado.

Deje $X$ e $Y$ ser lo suficientemente agradable espacios topológicos y $f:X \to Y$ suficientemente agradable surjection. Si para cada una de las $y \in Y$, la fibra $f^{-1}(y) \subset X$ es (topológicamente, homotopically, homólogamente) equivalente a un punto, a continuación, $f$ induce un (topológicas, homotópica, homológica) la equivalencia entre los $X$ e $Y$.

Hay muchos de esos teoremas (Vietoris-Begle de homología, Smale para homotopy), y abundan las generalizaciones. Por ejemplo, en lugar de exigir que las fibras se homotopy-equivalente a los puntos, usted puede pedir que se $n$conectado para algunos $n$; bajo este más débil de la hipótesis de que uno puede extraer el hecho de que el homotopy grupos de $X$ e $Y$ de acuerdo a la dimensión de $n-1$.

Esto sugiere una forma bastante general de la plantilla: tomar un buen mapa de $f:X \to Y$, y se supone que cada fibra de $f^{-1}(y)$ es equivalente a un punto en [insertar invariante topológico $I$ aquí]. A continuación, $X$ e $Y$ se $I$-equivalente.

Pregunta: ¿hay un teorema general como el que se sugiere más arriba?

Por ejemplo, uno podría preguntarse: si cada fibra tiene la característica de Euler de un punto, debemos obtener el $\chi(X) = \chi(Y)$? La razón pensé que pido es porque me gustaría saber si es un teorema vale para la simple homotopy de equivalencia (ver aquí por ejemplo). Incluso si no hay nada como el super-general del teorema anterior se puede sostener, yo todavía estaría interesado en saber si uno tiene las siguientes precisa, versión restringida:

Deje $X$ e $Y$ estar conectado CW complejos y $f:X \to Y$ un celular surjection. Si para cada una de las $y \in Y$, la fibra $f^{-1}(y) \subset X$ es simple homotopy equivalente a un punto, a continuación, $X$ e $Y$ son simples homotopy equivalente.

Si esto es cierto, ¿dónde se puede encontrar este teorema en la literatura? Fregué Marshall Cohen, el libro de Simple Homotopy Teoría pero no se pudo encontrar.

Answer 1

Edit: he añadido algunas definiciones y detalles a mi respuesta.

En la mayoría de forma general puedo encontrar, a tu tercera pregunta, es una consecuencia de los dos resultados sobre la célula-como mapas y obras de homotopy equivalencias. Está estrechamente relacionado y hace uso de Chapman, con su célebre teorema de la invariancia topológica de Whitehead de torsión.

En primer lugar, un celular-como mapa es un mapa que es correcto, y cuyas fibras son todas similares a la célula de los espacios. Un espacio métrico compacto se llama celular-como si es "la forma contráctiles" en el sentido de tener trivial (Borsuk) forma. En segundo lugar, un mapa de $f:X\to Y$ es una fina homotopy de equivalencia si, por cualquier abra la cubierta $\mathcal{U}$ de $Y$, $f$ tiene un homotopy inverso $g$, y la correspondiente homotopies a los dos mapas de identidad que ambos siguen trayectorias nunca dejando algunas abierta en $\mathcal{U}$. Por último, cabe recordar que la ANR abrevia la absoluta barrio de retractarse. Es importante destacar, y para evitar que se acumulan las eliminatorias, todos los ANRs en esta respuesta se asume de forma implícita métrica y separables. Un buen ejemplo de un (métrico separable) ANR es un localmente finito, contables CW-complejos.

El principal teorema en el artículo "las Asignaciones entre los ANRs que están bien homotopy equivalencias" de William Haver implica que cualquier célula-como mapa entre localmente compacto ANRs es un (correcto) multa homotopy de equivalencia. En ese artículo, un celular-como el mapa se llama una adecuada $UV^\infty$-mapa del lugar.

Por otro lado, el corolario 3.2 en el artículo "La homeomorphism grupo de un pacto de Hilbert cubo de colector es un ANR" por Steve Ferry implica que cualquier multa homotopy equivalencia entre localmente compacto ANRs es un simple homotopy de equivalencia. La prueba de este resultado por Ferry utiliza la teoría de Hilbert cubo de colectores, a través de los siguientes hechos: (1) una adecuada fina homotopy la equivalencia entre el cubo de Hilbert colectores es approximable por homeomorphisms (como se demostró en Ferry en el artículo citado más arriba), y (2) el producto de un localmente compacto ANR con el cubo de Hilbert es un cubo de Hilbert colector (por un resultado de Robert Edwards). Por último, utiliza Chapman resultados en la invariancia topológica de Whitehead de torsión.

En cualquier caso, poniendo juntos los dos resultados se indicó anteriormente, podemos concluir lo siguiente.

Cualquier celular-como mapa entre localmente finito, contables CW-complejos es un simple homotopy de equivalencia.

Para relacionar este tema con la pregunta, primero observar que la simple homotopy tipo no está definida para cada espacio. En la mayor generalidad soy consciente de que es definible localmente compacto ANRs. Luego de ser simple homotopy equivalente a un punto es equivalente a ser un compacto contráctiles ANR. Desde un espacio de este tipo es necesariamente similar a la célula, se obtiene la siguiente respuesta a su última pregunta.

Deje $f:X\to Y$ ser un adecuado mapa entre localmente finito, contables CW-complejos. Asumir que cada una de las fibras de $f$ es un contráctiles ANR, es decir, tiene trivial simple homotopy tipo (ya que las fibras son compactos). A continuación, $f$ es un celular-como mapa. Por el resultado anterior, $f$ es un simple homotopy de equivalencia.

Que es la declaración más general que puedo encontrar. Si sólo se preocupan por el caso finito de CW-complejos, entonces el resultado admite una formulación con menos clasificadores, y también se demostró un par de años antes. Por ejemplo, se indica explícitamente como un teorema en la página 17 del artículo por Lacher citadas a continuación.

Si $f:X\to Y$ es un celular-como mapa entre compacta ANRs, a continuación, $f$ es un simple homotopy de equivalencia. En particular, si $f:X\to Y$ es un mapa entre finito de CW-complejos cuyas fibras son todos contráctiles ANRs, a continuación, $f$ es un simple homotopy de equivalencia.

Finalmente, con dos bonitas vistas generales de la teoría de la célula como mapas y otros temas relacionados son:

• la de 1978 ICM dirección de Robert Edwards , que describe muy interesantes conexiones con la topología de colectores;

• el artículo "Células similares a las asignaciones y sus generalizaciones" por Lacher, que da una detallada exposición de la teoría de la célula, como los mapas.

Por otra parte, la primera parte del artículo por Lacher contiene una interesante exposición de los teoremas de Vietoris-Begle tipo, como los que se mencionan en la pregunta. Podría ser un buen lugar para empezar a buscar una teoría general de dichos resultados.