Consideremos primero el caso en que $M_g$ es la pila:
En $\mathbb C$ esto es una consecuencia del teorema de Torelli: Un mapa de una curva racional o elíptica a $M_g$ es lo mismo que una familia suave sobre esa curva. Entonces, si se considera el mapa del período se obtiene un mapa desde la misma curva al espacio de parámetros de las estructuras de Hodge. Sin embargo, éste es hiperbólico, por lo que cualquier mapa holomorfo desde $\mathbb C$ es trivial. Por lo tanto las estructuras de Hodge de las fibras son las mismas, pero entonces Torelli dice que entonces las curvas son también las mismas, por lo que el mapa a módulos es trivial. (De hecho esta prueba muestra que incluso una curva racional menos $2$ los puntos tampoco pueden mapearse allí).
En realidad, es mucho más cierto: La misma afirmación es válida si sustituimos $M_g$ con $M_h$ la pila de módulos de las variedades proyectivas lisas canónicamente polarizadas con el polinomio de Hilbert $h$ . (Para $\deg h=1$ se devuelve el correspondiente $M_g$ ). Torelli ya no es cierto, pero la afirmación deseada sí lo es: No hay mapas no triviales desde una curva elíptica o una curva racional menos $2$ puntos. Esto se demuestra en Hiperbolicidad algebraica de los espacios de moduli finos J. Algebraic Geom. 9 (2000), nº 1, 165-174.
Entonces cabe preguntarse si se podría decir algo de las bases dimensionales superiores. La generalización directa de la pregunta original sería sustituir una curva elíptica por una variedad abeliana. La misma afirmación es válida, (de hecho un poco más que eso es) demostrada en Familias sobre una base con un haz tangente nef bipolar Mathematische Annalen, 1997, Volumen 308, Número 2, Páginas 347-359
Si se quiere generalizar más, es decir, incluir el caso de las curvas racionales menos dos puntos, una posibilidad es
La conjetura de Viehweg (en términos generales)
Cualquier variedad cuasi-proyectiva que admita un morfismo genéricamente finito a $M_h$ es de tipo log general.
Aquí tipo de registro general significa que si $X$ es la variedad en cuestión y $\overline X$ es una variedad proyectiva tal que $X\subseteq \overline X$ es un subconjunto abierto y $D=\overline X\setminus X$ es un divisor, entonces $\omega_{\overline X}(D)$ es grande (=tiene la máxima dimensión de Kodaira).
Si no ha visto esto antes, compruebe que las curvas de tipo general log son: Cualquier subconjunto abierto de una curva de género al menos $2$ cualquier subconjunto abierto adecuado de una curva elíptica y cualquier subconjunto abierto de una curva racional al que le falte al menos $3$ puntos. En otras palabras, las únicas curvas de tipo general no logarítmico son las curvas elípticas (proyectivas) y las curvas racionales que faltan como máximo $2$ puntos. En otras palabras, la conjetura de Viehweg para $M_g$ es sólo la primera afirmación anterior.
La conjetura de Viehweg se conoce actualmente para las variedades de base propia por Familias de variedades de tipo general sobre bases compactas , Advances in Mathematics, Volume 218, Issue 3, 20 June 2008, Pages 649-652 y La conjetura de hiperbolicidad de Viehweg es cierta en bases compactas , Advances in Mathematics, Volume 229, Issue 3, 15 February 2012, Pages 1640-1642 y más (hasta) $3$ -bases dimensionales en general por La estructura de las superficies y de los tres pliegues que mapean a la pila de moduli de las variedades canónicamente polarizadas , Duke Math. J. Volumen 155, Número 1 (2010), 1-33. .
En cuanto al espacio grueso, probablemente sea más bien una curiosidad, pero sigue pareciendo interesante. Oort demostró que el espacio grueso de $M_g$ contiene realmente curvas racionales. Tal vez se pueda adaptar su prueba para demostrar lo mismo para una curva elíptica. (La idea principal es construir una familia sobre una curva con un mapa dado a $\mathbb P^1$ tal que las fibras sobre los puntos que mapean al mismo punto en $\mathbb P^1$ son isomorfos, por lo que el mapa de módulos es un factor a través del mapa a $\mathbb P^1$ ).
Y luego hay muchos resultados relativos a la cuestión de qué tipo de subvariedades completas podrían $M_g$ tener. ¿O qué pasa con las subvariedades completas a través de un punto general? Hay varios resultados en esta dirección, pero ya estoy divagando....
Nota: todo lo anterior es válido sobre un campo algebraicamente cerrado de característica $0$ . En la característica $p$ todo tipo de cosas raras, así que yo esperaría que probablemente la mayoría de esto falle.
